Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Así, 3 2
sec xdxsec xtan x
sec xtan
xdx
2
sec xtan
x sec x(sec x 1)
dx
3
sec xtan x sec xdx
sec xdx
3
sec xtan x sec xdxln |sec x
tan x|
3
Por consiguiente, 2 sec xdxsec xtan xln |sec x
tan x|
3 1
Así, sec xdx 2 (sec xtan xln |sec x tan x|)
C
9. Halle x 2
sen xdx.
Sea u = x 2 , dv = sen x dx. Así, du = 2x dx y v = –cos x. Entonces,
2 2
x sen x dx x cos x 2x cos x dx
2
x cos x 2
xcos
x dx
Ahora se aplica la integración por partes a xcos
xdx, con u = x y dv = cos x dx, con lo que se obtiene
x cos x x sen x sen x dx x sen x cos x
CAPÍTULO 31 Técnicas de integración I: integración por partes
Por tanto,
x2 sen x dx x 2 cos x 2(x sen x cos x) C
3 2x
10. Halle xe dx.
Sea u = x 3 , dv = e 2x dx. Entonces, du = 3x 2 dx, v
= 1 2
2 e x y
3 2
xe x 1 3 2
dx xe x 3 2 2
xe x
2 2 dx
Para la integral resultante, sea u = x 2 y dv = e 2x dx. Entonces, du = 2x dx, v
xe x dx xe x xe x xe x dx xe
3 2 1
2
3 2 3
2
1
2
2 2 2 1
2
2 2
= 1 2
2 e x y
x 3 2 2x 3 2x
4 xe 2
Para la integral resultante, sea u = x y dv = e 2x dx. Entonces, du = dx, v
3 2
xe x 1 3 2
dx xe x 3 2 2
xe x 3 1 2
xe x 1 2
e x
2 4 2 2 2 dx
xe dx
= 1 2
2 e x y
1 3 2x 3 2 2x 3 2x 3 2x
2 4 4 8
xe xe xe e C
11. Derive la siguiente fórmula reducción para
sen m xdx.
sen
Sea u = sen m–1 x y dv = sen x dx
m
xdx
sen
m
1
xcos
x
m 1
sen
m m
m2
m−1
u= sen x dv=
sen x dx
m−2
du = ( m − 1)sen
x dx v =−cosx
xdx