Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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y otra aplicación de la regla señala que
EJEMPLO 27.4.
lím
6x
+ 5
= lím
6
=
6
=
3
x→+∞
14x
− 2 x→+∞
14 14 7
Como tan x tiende a 0 cuando x tiende a 0, la regla de L’Hôpital implica que
lím tan = lím sec 2
x x
= lím
1
=
1
=
x →0 x x →0
x →0
cos
2 2
1
1
x 1
Tipo indeterminado 0 · ∞
Si f(x) tiende a 0 y g(x) tiende a , no se sabe cómo determinar lím f(x)g(x) A veces este problema puede
transformarse para conseguir que la regla de L’Hôpital sea aplicable.
CAPÍTULO 27 Regla de L’Hôpital
EJEMPLO 27.5. Cuando x tiende a 0 desde la derecha, ln x tiende a –. Entonces, no se sabe cómo hallar lím x 1n x.
x0 Pero cuando x tiende a 0 desde la derecha, 1/x tiende a +. Así, por la regla de L’Hôpital,
ln x
lím x ln x = lím = lím
1/
x
l
x→ + x→ + x x→
+ − 2
= ím
0 0 1/
0 1/
x
− x = 0
x→ 0 +
Tipo indeterminado ∞ – ∞
Si f(x) y g(x) tienden a no se sabe qué sucede con lím (f(x) – g(x)). En ocasiones el problema puede transformarse
en un problema tipo L’Hôpital.
EJEMPLO 27.6.
lím cosec x
1
x
x es un problema de este tipo. Pero
0
lím cosec x
1
lím
1
1
lím
x
sen
x0
x0
x0
x
x
x
senx
xsen
x
Como x – sen x y x sen x ambos tienden a 0, se aplica la regla de L’Hôpital y se obtiene lím
x→0
tanto el numerador como el denominador tienden a 0 y por la regla de L’Hôpital resulta
lím
sen x
0
x
0
0
0 x sen x cos x cos x 0 1 1 2
1−
cos x
. Aquí,
x cos x + sen x
Tipos indeterminados 0 0 , ∞ 0 y 1 ∞
Si lím y es uno de estos tipos, entonces lím (ln y) será del tipo 0 .
EJEMPLO 27.7. En lím x sen x sen x
ln x
, y
x , es del tipo 0 0 y no se sabe qué sucede en el límite. Pero y = sen xln
x=
x0
cosec x
y ln x y cosec x tienden a . Entonces, por la regla de L’Hôpital,
lím lím lím
sen 2
ln y
1/ x
x sen x sen x
lím x0
x0
cosec x cot x x0
xcos
x x0
x cos x
lím sen x lím tan x ( 1)( 0)
0
x0
x x0
Aquí se utilizó el hecho de que lím((sen x) / x)
1 (problema 1 del capítulo 17). Ahora, como lím ln y 0,
x0
ln y 0
lím y= lím e = e = 1
x→0+ x→0+ x0