Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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PROBLEMAS RESUELTOS
/ 2
2
1. Evalúe sen xcos xdx.
0
sen 2 xcos xdx 1 sen
3 x por la fórmula abreviada I. Así, por el teorema fundamental,
3
/ 2
3
2
1 3
/ 2
1
sen xcos xdx 3 sen x sen
(s
0
0 3 2 en 0)
( 1 0
)
2. Halle el área bajo la gráfica de f ( x ) = , por encima del eje x, y entre 0 y 1.
4−
x2
1
1 x
2
El área es
1
1
dx sen (0)
2
sen sen 0
0 4x
1
0
1
1 1
2
6 6
3 1
3
3 3 1
3
3. Halle el valor promedio de f(x) = 4 – x 2 en [0, 2].
El valor promedio es
2
b
2
3
1
1 2 1 1
f x dx 2 4 x dx 2 4x
x
b a ( ) ( )
0
3 2
[ 8
a
( 0 0)]
0
8
3
8
3
CAPÍTULO 24 Teorema fundamental del cálculo
x
x a
.
4. Demuestre la fórmula (24.2): D ftdt () fx ( )
Sea h( x) f( t) dt.
Entonces:
a
x
xx
h( xx) h( x) f() t dt f()
t dt
a
a
x
x
ftdt ()
xx
x
f x
ftdt ()
( )
x
a
x
xx
Así, h ( x x ) h ( x )
f( x ) y, por consiguiente,
x
ftdt () ftdt ()
a
x
(por 23.7)
para algún x entre x y xx
(por el
teorema del valor medio para integrales)
x
h x x h x
Dx
ftdt ( ) D h x
a
x( ( )) lím (
) ( )
x
0 x
lím f( x )
x
0
Pero cuando x 0, x + x x y, por ello, x * x (como x * está entre x y x + x). Entonces, f es
continua, lím x 0 f(x * ) = f(x).
5. Justifique un cambio de variable en una integral definida en el siguiente sentido preciso. Dada f( x) dx,
sea
a
x = g(u) donde, cuando x varía de a a b, u crece o decrece de c a d (véase la figura 24.1 para el caso en que u
es creciente). Demuestre que
b
a
f( x) dx
f( g( u)) g( u)
du
c
d
(El lado derecho se obtiene al sustituir g(u) por x, g(u) du por dx, y cambiar los límites de integración desde a
y b hasta c y d.)
b
b
x
x g(u)
a
c d u
Fig. 24.1