Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 42 Sucesiones infinitas
TEOREMA 42.5. (Teorema del sándwich o teorema de intercalación.) lím n sn
L lím n u n y existe un
entero m tal que s n t n u n para todo n m, entonces lím n t n
L.
Para ver una demostración, repase el problema 11.
Corolario 42.6. Si lím n u n
0 y hay un número m tal que |t n | |u n | para todo n m, entonces lím n t n 0.
Ésta es una consecuencia del teorema 42.5 y el hecho de que lím n an
0 equivale a lím n | an| 0.
EJEMPLO 42.7. lím n ( 1) n 1
2
0
. Para comprobarlo, use el corolario 42.6, observando que ( 1
)
n
lím 1
n
n 0 .
n
n
1
1
2
y n
Teorema 42.7. Sea f una función continua en c y sea lím n s n
c, donde todos los términos s n están en el dominio
de f. Entonces lím n
f( s ) f( c)
.
n
Véase el problema 33.
Es evidente que si una sucesión converge o no, no se verá afectada si se borran, suman o alteran un número
finito de términos en su comienzo. La convergencia depende de qué sucede “en el largo plazo”.
Es necesario ampliar la noción de sucesiones infinitas al caso donde se permite que el dominio de una sucesión
sea el conjunto de enteros no negativos o cualquier conjunto que conste de todos los enteros mayores o
iguales que un entero fijo. Por ejemplo, si se toma el dominio como el conjunto de enteros no negativos, entonces
2n + 1 indicaría la sucesión de enteros impares positivos, y 12
/ representaría la sucesión, 1 1 1 1
n
, 2 , 4 , 8 ,...
Sucesiones monótonas
a) Una sucesión s n es no decreciente si s n s n+1 para todo n.
b) Una sucesión s n es creciente si s n < s n+1 para todo n.
c) Una sucesión s n es no creciente si s n s n+1 para todo n.
d) Una sucesión s n es decreciente si s n > s n+1 para todo n.
e) Una sucesión es monótona si es no decreciente o no creciente.
Claramente, toda sucesión creciente es no decreciente (pero no recíprocamente), y toda sucesión decreciente
es no creciente (pero no recíprocamente).
EJEMPLO 42.8. a) La sucesión 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, … es no decreciente, pero no creciente. b) –1, –1, –2, –2, –3,
–3, –4, –4, … es no creciente, pero no decreciente.
Una propiedad básica e importante del sistema de números reales está dada por el siguiente resultado. Su
demostración va más allá del objetivo de esta obra.
Teorema 42.8.
Toda sucesión monótona acotada es convergente.
Hay varios métodos para mostrar que una sucesión s n es no decreciente, creciente, no creciente o decreciente.
En el caso siguiente, la propiedad s n es creciente.
Método 1: Demuestre que s n+1 – s n > 0.
EJEMPLO 42.9.
ya que 4n + 5 > 0 y 4n + 1 > 0.
Considere s = 3n
n
4n
+ 1 . Entonces, s = 3( n + 1)
n
n+
n + + = 3 + 3
1
. Por tanto,
4( 1)
1 4n
+ 5
s − s = n + n n n n
n+ n
n + − n + = 2 2
3 3 3 ( 12 + 15 + 3) − ( 12 + 15n)
1
4 5 4 1 ( 4n+ 5)( 4n+
1)
=
3
> 0
( 4n+ 5)( 4n+
1)
Método 2: Cuando todo s n > 0, demuestre que s n+1 /s n > 1.