Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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9. Uno de los puntos de intersección de las curvas a) y 2 = 4x y b) 2x 2 = 12 – 5y es (1, 2). Halle el ángulo agudo de
intersección de las curvas en ese punto.
4
Para a), y = 2/y. Para b) y = –4x/5. Entonces, en (1, 2), m 1 = 1 y m 2
=− 5 . Luego,
tan 4
m1 m2
1 5
mm 4
9
1
1 2
1 5
Así, 83° 40 es el ángulo agudo de intersección.
10. Halle los ángulos de intersección de las curvas a) 2x 2 + y 2 = 20 y b) 4y 2 – x 2 = 8.
Al despejar simultáneamente se obtiene y 2 = 4, y = 2. Entonces, los puntos de intersección son ( ±2 2, 2 )
1
y ( ± 2 2, −2 ). Para a), y = –2x/y, y para b), y = x/4y. En el punto ( 2 2, 2),
m1 =− 2 2 y m2
= 4 2. Como
m 1 m 2 = –1, el ángulo de intersección tiene 90° (es decir, las curvas son ortogonales). Por simetría, las curvas
son ortogonales en cada uno de sus puntos de intersección.
11. El cable de suspensión de un puente está unido a pilares de soporte que distan 250 pies uno de otro, y cuelga
en forma de una parábola con el punto más bajo a 50 pies por debajo del punto de suspensión. Halle el ángulo
entre el cable y el pilar.
Tome el origen en el vértice de la parábola, como en la figura 12.4. La ecuación de la parábola es y = 2 2
625 x
y y = 4x/625.
En (125, 50), m = 4(125)/625 = 0.8000 y = 38° 40. Por ende, el ángulo requerido es = 90° – = 51° 20.
CAPÍTULO 12 Rectas tangentes y normales
y
(125, 50)
O
x
Fig. 12.4
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
12. Examine las rectas tangentes horizontales y verticales de x 2 + 4xy + 16y 2 = 27.
3
Respuestas: tangentes horizontales en ( 3, − 2 ) y ( , ). Tangentes verticales en ( 6 3 3
, − 4 ) y ( −6, − 4 ).
−3 3 2
13. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a x 2 – y 2 = 7 en el punto (4, –3).
Respuesta: 4x + 3y = 7 y 3x – 4y = 24.
14. ¿En qué puntos de la curva y = x 3 + 5 es su recta tangente: a) paralela a la recta 12x – y = 17; b) perpendicular
a la recta x + 3y = 2?
Respuestas: a) (2, 13), (–2, –3); b) (1, 6), (–1, 4).
15. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a 9x 2 + 16y 2 = 52 que sean paralelas a la recta 9x – 8y = 1.
Respuesta: 9x – 8y = 26.