Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

237
y
O
2 4 x
Fig. 29.13
Observe que si hubiera cometido el error de calcular simplemente la integral ( x 3 6x 2 8x) dx,
se
0
hubiera obtenido la respuesta incorrecta, que es 0.
6. Establezca el área encerrada por la curva y 2 = x 2 – x 4 .
La curva es simétrica respecto a los ejes de coordenadas. Por tanto, el área requerida es cuatro veces la
parte que yace en el primer cuadrante (fig. 29.14). En el primer cuadrante, y =
2 4
x − x = x
2
1 − x y la
curva corta el eje x en x = 0 y x = 1. Entonces, el área requerida es
4
CAPÍTULO 29 Aplicaciones de integración I: Área y longitud de arco
1
( ) ( )
2
2 1/
2
4 x 1 x dx 2 1 x 2x dx
0
1
0
1
2 3/
2 0
2
2 3 (
1 x )
(por la fórmula abreviada I)
( 01
) ( 1)
4 3/2 4 4
3 3 3
y
O
x
Fig. 29.14
7. Halle la longitud de arco de la curva x = 3y 3/2 – 1 de y = 0 a y = 4.
d dx
Se pueden invertir los papeles de x y de y en la fórmula de la longitud de arco (29.2): L = + ⎛
c ⎝ ⎜ ⎞
∫ 1
dy ⎠
⎟
Como dx = 9 y
dy 2 12 / ,
81
4
L = ∫ 1+ ydy= 1+ y dy=
4
81
81 12 81 4 2
( 4 ) / ( 4 ) 81 ( )( 81
) 32 / 8
(( ) 32 / 32 /
) 8
3 1+ ⎤
∫ 4 y 243 82 1
⎦ ⎥ = − = 2 43 ( 82 82 − 1)
0
4
0
4
8. Halle la longitud de arco de la curva 24xy = x 4 + 48 de x = 2 a x = 4.
1 3 −1
1 2 2
y = 24 x + 2 x . Por tanto, y 8 x 2/ x . Entonces,
2
1 4 1
4
y 64 x 2
x 4
2 1 4 1
4 1 2
2
1 ( y) 64 x 2 x
x 4 8
2
x
4
0
2
2
dy.