Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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2. En el punto (1, 1, 1) o t = 1 de la curva en el espacio x = t, y = t 2 , z = t 3 , determine:
a) Las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal.
b) La tangente unitaria, la normal principal y la binormal.
c) Las ecuaciones de la normal principal y la binormal.
Se tiene que
( i + 2j + 3k ) .
r = ti + t 2 j + t 3 k
dr = i + 2tj + 3t2 k
dt
ds
=
dr
2 4
= 1+ 4t
+ 9t
dt dt
2
t
r r i j k
=
d
+
=
d dt 2t
+3t
=
ds dt ds 1+ 4t
+ 9t
2 4
En t = 1, r = i + j + k y t =
1 14
a) Si R es el vector de posición de un punto general (X, Y, Z) en la recta tangente, su ecuación vectorial es R
– r = kt o
( X − 1)i + ( Y − 1) j + Z − 1
( )k = k ( i + 2j + 3k )
14
CAPÍTULO 53 Derivación e integración de vectores
y sus ecuaciones rectangulares (cartesianas) son
X − 1 =
Y − 1 =
Z − 1
1 2 3
Si R es el vector de posición de un punto general (X, Y, Z) en el plano normal, se ecuación vectorial
es (R – r) t = 0 o
X 1i Y 1
y su ecuación rectangular (cartesiana) es
j Z 1
0
k
1
i 2j 3k
14
(X – 1) + 2(Y – 1) + 3(Z – 1) = X + 2Y + 3Z – 6 = 0
(Véase el problema 2a) del capítulo 51.)
b)
dt
d dt t t t t
=
t
= ( − − 3 ) + ( − 4
)
3
4 18 i 2 18 j +(6 +12t ) k
2 4 2
ds dt ds
( 1+ 4t
+ 9t
)
En t = 1,
dt −11i− 8j+
9k
=
ds 98
y
dt =
1 19 = | K|.
ds 7 14
Entonces, n = 1 dt −11i− 8j+
9k
=
| K|
ds 266
y b = t × n =
1
14 266
i j k
1 2 3 =
1
11 8 9
19 ( 3 i− 3 j+
k )
− −
c) Si R es el vector de posición de un punto general (X, Y, Z) en la normal principal, su ecuación vectorial es
R – r = kn, o
(X – 1)i + 2(Y – 1)j + 3(Z – 1)k = k −11 i − 8 j + 9 k
266