Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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PROBLEMAS RESUELTOS
1. Halle el volumen de un cono de altura h, cuya base tiene radio r.
El cono se genera al girar en torno al eje x la región que se halla entre la recta y =
r
h x y el eje x, entre x = 0
y x = h [fig. 30.2a)]. Por la fórmula del disco, el volumen del cono es
h
h 2
ydx
r
h x dx
2
h
2
2
2 r 1 3
x
r
2
2
h 3
0
0
2
0
h
1 3 1 2
3 h 3 r h
2. Determine el volumen de un cilindro de altura h y radio r.
El cilindro se genera cuando se gira en torno al eje x la región que yace entre la recta y = r y el eje x, entre
x = 0 y x = h [fig. 30.2b)]. Por la fórmula del disco, el volumen del cilindro es
h
h
V = π 2
y dx= r dx= r x⎤
∫ π 2
∫ π 2
r h
⎦⎥ = π 2
0
0
3. Determine el volumen de una esfera de radio r.
2 2
La esfera se genera al girar alrededor del eje x la región que se halla entre el semicírculo y = r − x y el
eje x, entre x = –r y x = r [fig. 30.2c)]. Por la simetría respecto al eje y se puede emplear la parte de la región
comprendida entre x = 0 y x = r y luego duplicar el resultado. Así, por la fórmula del disco, el volumen de la
esfera es
r
r
r
V = 2 ∫ y dx = r − x dx = r x − x ) 2 2 ∫
2
⎤ 3
3
π π ( ) π
0
0
⎦ = 2 − = 2
2 3
=
4 3
π r
r
π r πr
3 3 3
2 2 2 1
3 3 0
h
0
( ( ) ( )
CAPÍTULO 30 Aplicaciones de integración II: volumen
4. Sea la región comprendida entre el eje x, la curva y = x 3 y la recta x = 2 (fig. 30.10).
a) Halle el volumen del sólido obtenido al girar en torno al eje x.
b) Determine el volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje y.
y
8
6
4
2
1
1
2
3
x
Fig. 30.10
a) Con la fórmula del disco se obtiene el volumen
V
2
y dx 2
x dx 2
2 3 2
x 6
dx x
7
( )
128
0
0
0 7 7
2
0