Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

183
2 2 2 1/
2
∫ x x + 1dx = ∫( u − 1) u du = ∫( u − 2u + 1)
u du
∫
52 / 32 12 2 72 2 52 2 32
= ( u −2u / + u / ) du= 7 u / − 2( 5 ) u / + 3 u / + C
/
= 2u ( u − u+ ) + C
32 1
7
2 2
5
1
3
/
= 2( x+ 1) [ ( x+ 1) − ( x+ ) + ] + C
32 1
7
2 2
5
1
1
3
19. Se lanza una piedra desde el suelo hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies/segundo (pie/s).
a) ¿Cuándo alcanza su máxima altura? b) ¿Cuál es la máxima altura? c) ¿Cuándo toca el suelo? d) ¿Cuál es la
velocidad cuando llega al suelo?
En problemas de caída libre, v = ∫ adt y s = ∫ v dt porque a =
d v y
dt
v = ds
dt . Como a = –32 pies/s2 ,
v 32 dt 32 t C1
CAPÍTULO 22 Antiderivadas
Sea t = 0, y se observa que C 1 = v 0 , la velocidad inicial en t = 0. Entonces, v = –32t + v 0 . Por consiguiente,
s ( t )
2
32 v0
dt 16t v 0
tC
2
Sea t = 0, y se observa que C 2 = s 0 , la posición inicial en t = 0. Por tanto,
En este problema, s 0 = 0 y v 0 = 64. Entonces,
s = –16t 2 + v 0 t + s 0
v = –32t + 64, s = –16t 2 + 64t
a) A la altura máxima, ds
dt = v = 0. Así, –32t + 64 = 0 y, por ende, t = 2 segundos.
b) Cuando t = 2, s = –16(2) 2 + 64(2) = 64 pies, la altura máxima.
c) Cuando la piedra llega al suelo, 0 = s = –16t 2 + 64t. Al dividir entre t, 0 = –16t + 64 y, por tanto, t = 4.
d) Cuando t = 4, v = –32(4) + 64 = –64 pies/s.
20. Halle la ecuación de la curva que pasa por el punto (3, 2) y que tiene pendiente 5x 2 – x + 1 en cada punto (x, y).
Como la pendiente es la derivada, dy/dx = 5x 2 – x + 1, entonces
y ( 5 x 2 x 1)
dx 5 x 3 1 x 2 xC
3 2
5 3 1 2 9
Como (3, 2) está en la curva, 2= 3 () 3 − 2 () 3 + 3+ C = 45− 2 + 3+
C. Por consiguiente, C =− 83 2
. Por tanto,
la ecuación de la curva es
5
y = x − x + x−
21. Justifique el método de sustitución: f g x g x dx
3
3 1
2
2 83
2
( ( )) ( ) f( u)
du.
Aquí, u = g(x) y du/dx = g(x). Por la regla de la cadena,
x g
x
D f u du D f u du
du
fu
du
x ( )
u ( ) ( ) f( g(
)) ( )
dx dx
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
En los problemas 22 a 44, evalúe la antiderivada indicada.
22.
∫
2
( 1+
x )
12 / 2 1 2
dx Respuesta: 2x ( 1+ 3 x+ 5 x ) + C
x