Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Vectores en un plano
Escalares y vectores
Cantidades como el tiempo, la temperatura y la rapidez, que tienen sólo magnitud, se denominan escalares. Por
otra parte, cantidades como la fuerza, la velocidad y la aceleración, que tienen tanto magnitud como dirección,
se denominan vectores. Los vectores se representan geométricamente por segmentos de recta dirigidos (flechas).
La dirección de la flecha (el ángulo que forma con alguna recta dirigida fija en el plano) es la del vector, y la
longitud de la flecha representa la magnitud del vector.
Los escalares se denotarán con letras, a, b, c,... en tipo ordinario; los vectores se simbolizarán con letras en
negritas a, b, c..., o mediante una expresión OP [donde se considera que el vector va de O a P [fig. 39.1a)]. La
magnitud (longitud) de un vector a u OP se representa por |a| o por |OP|.
Dos vectores a y b son iguales (lo que se escribe a = b) si tienen la misma dirección y magnitud. Un vector
cuya magnitud es la de a, pero cuya dirección es opuesta a la de a, se denomina negativo de a y se representa
como –a [fig. 39.1a)].
Si a es un vector y k es un escalar positivo, entonces ka se define como un vector cuya dirección es la de a
y cuya magnitud es k veces la de a. Si k es un escalar negativo, entonces ka tiene dirección opuesta a la de a y
su magnitud es |k| veces la de a.
También se considera que un vector cero 0 con magnitud 0 y sin dirección se define –0 = 0, 0a = 0 y k0 = 0.
A menos que se indique de otro modo, un vector dado carece de una posición fija en el plano, por lo que
puede moverse en desplazamiento paralelo como se desee. En particular, si a y b son dos vectores [figura
39.1b)], pueden colocarse de manera que tengan un punto inicial o final común P [figura 39.1c)] o de forma
que el punto inicial de b coincida con el punto terminal o extremo de a [figura 39.1d)].
B
O
a
P
B
– a b
A
b
a
a
P
a
P
a b
(a) (b) (c) (d)
A
b
Fig. 39.1
Suma y diferencia de dos vectores
Si a y b son los vectores de la figura 39.1b), su suma a + b se obtiene de cualquiera de estas dos formas, ambas
equivalentes:
1. Trazando los vectores como en la figura 39.1c) y completando el paralelogramo PAQB de la figura 39.2a).
El vector PQ es la suma requerida.
2. Trazando los vectores como en la figura 39.1d) y completando el triángulo PAB de la figura 39.2b). Ahí el
vector PB es la suma requerida.
De la figura 39.2b) se deduce que es posible desplazar tres vectores para formar un triángulo, siempre que
uno de ellos sea la suma o el negativo de la suma de los otros dos.
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