Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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493 32. Determine el área de la parte de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 25 entre los planos z = 2 y z = 4. Respuesta: 20p unidades cuadradas 33. Encuentre el área de la parte de la superficie z = xy interior al cilindro x 2 + y 2 = 1. Respuesta: 2( 2 2 1) / 3 unidades cuadradas 34. Halle el área de la superficie del cono x 2 + y 2 – 9z 2 = 0 sobre el plano z = 0 e interior al cilindro x 2 + y 2 = 6y. Respuesta: 3 10 unidades cuadradas 35. Encuentre el área de la parte de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 25 que está dentro del cilindro elíptico 2x 2 + y 2 = 25. Respuesta: 50p unidades cuadradas CAPÍTULO 56 Integración doble aplicada al volumen 36. Halle el área de la superficie x 2 + y 2 – az = 0 que queda directamente sobre la lemniscata 4r 2 = a 2 cos 2q. Respuesta: ( ) 2 S = 4 2 2 + a d d = a − a ∫∫ 4ρ ρ ρ θ 5 π uunidades cuadradas 3 3 4 37. Halle el área de la superficie x 2 + y 2 – z 2 = 4 que queda directamente sobre la cardioide r = 1 – cos q. Respuesta: 8[ 2 ln( 2 1)] uunidades cuadradas
57 Integrales triples Coordenadas cilíndricas y esféricas Supóngase que un punto P tiene coordenadas (x, y, z) en un sistema de coordenadas rectangulares dextrógiro (derecho). Las coordenadas cilíndricas correspondientes de P son (r, q, z), donde (r, q) son coordenadas polares para el punto (x, y) en el plano xy. [Observe el cambio de notación de (r, q) a (r, q) para las coordenadas polares de (x, y); fig. 57.1.] Por tanto, se tienen las relaciones x = r cos q, y = r sen q, r 2 = x 2 + y 2 , y tan x En coordenadas cilíndricas, una ecuación r = c representa un cilindro recto de radio c con el eje z como su eje de simetría. Una ecuación q = c representa un plano que pasa por el eje z. Un punto P con coordenadas rectangulares (x, y, z) tiene las coordenadas esféricas (r, q, f), donde r = |OP|, q es el mismo que en las coordenadas cilíndricas y f es el ángulo dirigido desde el eje positivo hasta el vector OP (fig. 57.2). En coordenadas esféricas, una ecuación r = c representa una esfera de radio c con centro en el origen. Una ecuación f = c representa un cono con vértice en el origen y el eje z como su eje de simetría. Las relaciones adicionales siguientes, deducidas fácilmente de la figura 57.2 y las ecuaciones anteriores, se cumplen entre coordenadas esféricas, cilíndricas y rectangulares: r = r sen f, r 2 = x 2 + y 2 + z 2 x = r sen f cos q, y = r sen f sen q, z = r cos f z z P (r, , z) P(, , ) x O r z y x O r z y x y x y Fig. 57.1 Fig. 57.2 494
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Índice de contenido 1 Sistemas de
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3 Rectas Inclinación de una recta
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43 -4 F' 3 F 4 -2 y 5 2 x CAPÍTULO
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6 Funciones Se dice que una cantida
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8 Continuidad Función continua Una
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9 La derivada Notación delta Sea f
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10 Reglas para derivar funciones De
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17 Derivación de funciones trigono
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152 CAPÍTULO 18 Funciones trigonom
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19 Movimientos rectilíneo y circul
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25 El logaritmo natural La forma tr
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26 Funciones exponenciales y logar
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27 Regla de L’Hôpital Los límit
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28 Crecimiento y decrecimiento expo
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34 Técnicas de integración IV: su
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38 Curvatura Derivada de la longitu
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40 Movimiento curvilíneo Velocidad
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42 Sucesiones infinitas Sucesiones
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47 Series de Taylor y de Maclaurin.
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402 CAPÍTULO 48 Derivadas parciale
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49 Diferencial total. Diferenciabil
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414 CAPÍTULO 49 Diferencial total.
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419 29. En cierto instante el radio
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421 Entonces, z = f (a + x, b +
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423 El álgebra de vectores expuest
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425 donde de nuevo es el ángulo m
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