Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 14 Valores máximos y mínimos
una función continua u(50 – u), definida en [0, 50]. P = 50u – u 2 también es siempre diferenciable, y dP/du =
50 – 2u. dP/du = 0 resulta en un número crítico único u = 25. Por el método tabular (figura 14.9), se observa
que el valor máximo de P es 625, cuando u = 25 (y, por tanto, v = 50 – u = 25).
u
P
25 625
0 0
50 0
Fig. 14.9
11. Divida el número 120 en dos partes tales que el producto P de una parte y el cuadrado de la otra constituya un
máximo.
Sea x una parte y 120 – x la otra. Entonces, P = (120 – x)x 2 y 0 x 120. Como dP/dx = 3x(80 – x), los
números críticos son 0 y 80. Con el método tabular se halla P(0) = 0, P(80) = 256 000 y P(120) = 0. Por tanto,
el valor máximo ocurre cuando x = 80, y las partes requeridas son 80 y 40.
12. Una hoja de papel para un cartel debe tener 18 pies cuadrados de área. Los márgenes superior e inferior han de
ser de 9 pulgadas, y los márgenes de los lados, de 6 pulgadas. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de la hoja
para maximizar el área impresa?
Sea x una dimensión medida en pies. Entonces 18/x es la otra dimensión (fig. 14.10). La única restricción
18
en x es que x > 0. El área impresa en pies cuadrados es A = (x – 1) x − 3
18
2 – 3 . 2
( )
2 y dA
dx = x
3/4
1/2
18/x
x
Fig. 14.10
Al resolver dA/dx = 0 se obtiene el número crítico x = 2 3. Como d 2 A/dx 2 = –36/x 3 es negativa cuando
x = 2 3, el criterio de la segunda derivada indica que A tiene un máximo relativo en x = 2 3. Como 2 3 es
el único número crítico en el intervalo (0, +), el teorema 14.1 establece que A tiene un máximo absoluto en
18
x = 2 3. Entonces, un lado mide 2 3 pies y el otro mide = 3 3 pies.
( 2 3)
13. A las 9 am, el barco B se encuentra 65 millas al este del barco A. El barco B navega hacia el Oeste a 10 millas
por hora y A hacia el Sur a 15 millas por hora. Si continúan en sus cursos respectivos, ¿cuándo estarán más
cerca el uno del otro y cuán cerca (fig. 14.11)?
Sean A 0 y B 0 las posiciones de los barcos a las 9 am, y A t y B t sus posiciones t horas más tarde. La distancia
recorrida en t horas por A es de 15t millas, y por B, de 10t millas. La distancia D entre los barcos está
determinada por D 2 = (15t) 2 + (65 – 10t) 2 . Entonces,
2D dD = 2( 15t)( 15) + 2( 65 −10t)( −10); por tanto,
dt
dD =
325t
− 650 .
dt D
A 0
B t B 0
65 – 10t 10t
15t
D
A t
Fig. 14.11