Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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6. Demuestre (26.28) a log a x = x y (26.29) log a (a x ) = x.
Al sustituir log a x por y en (26.27) se obtiene a
log a x = x .
Al remplazar a y por x en (26.27) se obtiene y = log a (a y ).
7. Deduzca las propiedades siguientes de log a x:
a) log a 1 = 0.
ln1 0
log 1 = a ln a =
ln a = 0 .
b) log a a = 1.
ln
log a a
a
= =1
lna
c) log a uv = log a u + log a v.
lnuv
lnu
+ lnv
lnu
lnv
log a uv = = = + = log u
lna
lna
a a
a
+ log
ln ln
av
u
d) loga = logau
−log av.
v
Se remplaza u en c) por u v .
f) log a (u r ) = r log a u.
r
ln( u ) rlnu
r
log
a
( u ) = = =rlog u
lna
lna
a
.
1 1
g) Dx(log a
x)
= .
lnax
⎛ ln x
Dx(log a
x)
= D
⎞ 1
x⎝
⎜ lna⎠
⎟ = (ln )
lna D x = 1 1
x lnax
CAPÍTULO 26 Funciones exponenciales y logarítmicas
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
8. Calcule las derivadas de las funciones siguientes:
a) y = e 5x Respuesta: y = 5e 5x
b) y = e tan 3x Respuesta: y = 3 sec 2 tan 3x
(3x) e
c) y = e –x cos x Respuesta: y = –e –x (cos x + sen x)
d)
x
y = 3 − 2 − x
Respuesta: y′ =−2x(ln 3)
3 2
x
e
e) y = sen –1 (e x ) Respuesta: y′ =
x
1 − e
2
f) y = e Respuesta: y′ = e ex
x+
ex
g) y = x x Respuesta: y = x x (1 + ln x)
1 6x
h) y = log 10 (3x 2 – 5) Respuesta: y
2
ln10
3x
5
9. Halle las antiderivadas siguientes:
1
a) ∫ 3 2x dx
Respuesta:
2 3 32x + C
ln
1/
x
e
b) x
dx 2
Respuesta: –e 1/x + C
( e x 4
+ 1)
c)
x x
∫ ( e + 1)
3 e dx
Respuesta: + C
4
dx
d) ∫ Respuesta: x – 1n(e
e x + 1
x + 1) + C
2
1/
x
e
e)
3
dx
Respuesta: 1 e 1 / x
2
C
x
2 x
f)
e 2 2
1
x
xdx
Respuesta: e 2 2
C
2