Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 24 Teorema fundamental del cálculo
Sea F( x) f( x) dx,
es decir, F(x) = f(x). Por la regla de la cadena,
D ( F(g(u))) = F′ ( g( u)) ⋅ g′ ( u) = f( g( u)) g′ ( u) Así,
f( g( u)) g′ ( u) du=
F( g( u))
u
Entonces, por el teorema fundamental,
d
d
f( g( u)) g( u) du F( g( u)) F( g( d)) F( g( c)
)
c
c
Fb ( ) Fa ( ) f( x)
dx
6. a) Si f es una función par, demuestre que, para a > 0, a0, f( x) dx2 f x dx
a ( )
0
.
a
b) Si f es una función impar, demuestre que, para a > 0, a0, f( x) dx0.
Sea u = –x. Entonces, du = –dx, y
Luego,
0
a
a
a
f ( x ) dx f ( u )( 1
) du f ( u ) du f ( u ) du
Al rescribir u como x en la última integral queda:
0
a
a 0
a
0
f ( x) dx f ( x) dx
(*)
∫
a
−a
∫
0
∫
f( x) dx= f( x) dx+
f( x) dx ( por ( 23. 7))
−a
0
a
a
= ∫ f ( − x) dx+
∫ f( x) dx ( por( ∗))
0
0
a
= f( − x) + f( x) dx [ por (23.5)]
a) Si f es par, f (–x) + f (x) = 2f (x); luego f( x) dx f( x) dx f( x)
dx
a 2 2
0
a
a
a
b) Si f es impar, f (–x) + f (x) = 0; luego f ( x) dx
0dx 0
1dx
0.
∫
0
a
a
0
a
a
0
a
a
.
0
7. Regla del trapecio
a) Sea f (x) 0 en [a, b]. Divida [a, b] en n partes iguales, cada una de longitud x
b a
, por medio de
n
los puntos x 1 , x 2 ,…, x n–1 . [fig. 24.2a)]. Demuestre la siguiente regla, llamada regla del trapecio:
b
n
f( x) dx 1
x
f ( a ) 2
f ( x
k) f ( b )
a 2
k 1
1
2
b) Use la regla del trapecio con n = 10 para aproximar x dx.
a) El área de la franja que está sobre [x k–1 , x k ] es aproximadamente el área del trapecio ABCD en la figura
24.2b), 1 2 x( f( xk 1) f( xk))
.* (Recuérdese que x 0 = a y x n = b.) Entonces, el área bajo la curva se
aproxima por la suma de las áreas de trapecios.
n1
x
{[ f( x ) f( x )] [ f( x ) f( x )] [ f( x n
) f( x
x
n)]}
[ f ( a ) 2
f ( x
k) f ( b )]
2
2
0 1 1 2 1
y
0
0
∫
0
a
b
a
a
k1
B
C
f(x k–1 ) f(x k )
x x x x
x 1 x 2 x 3
...
x n–1
x
A
x k–1
D
x k
(a)
Fig. 24.2
*
Recuérdese que el área de un trapecio de altura h y bases b 1 y b 2 es 1 2 h( b1+
b2).
(b)