Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

263
sen5 x dx
sen4 x sen x dx
(1 – cos2 x) 2 sen x dx
2 2 2 4
(1 u ) du
( 12u u ) du
2 3 1 5
( u u 5 u ) C
3
cos x cos x cos x
C
1
5
5 2
3
3
Tipo 2. Ambas potencias de sen x y cos x son pares. Esto siempre supone un cálculo más tedioso mediante
las identidades
2
1 cos 2x
cos x = + 2
1 cos 2x
y sen x = −
2
2
EJEMPLO 32.4.
2 4 2 2 2
cos x sen x dx (cos x)(sen x)
dx
2
1
cos2x
1
cos2x
2
2
1
2
2
4
dx
2
cos x 1 2cos2x cos 2x
1
( 11 ( 2cos2xcos 2x 2x
1
2 2
8
2
2
) (cos )( cos x
cos 2x))
dx
1
2
2 3
( 1 2cos2xcos 2xcos2x
2cos 2x
cos 2x)
dx
8
2 3
1
( 1cos2xcos 2x
cos 2x)
dx
8
1
2 3
1dx cos2x dx cos 2x dx cos
2x dx
8
1 2 1 4
2
x
sen x
cos x
8 2 dx 2 1 2
2 (cos x )( sen x ) dx
1
2
1
4
2 1 2
x
sen x
x
sen x
[ u sen 2x]
8 cos xdx u du
2 2 4
2 donde
3
1
x
sen2x
x
sen 4x
sen
2x
1 sen 2x
8
2 2 8 2 2 3 C
3
1 x
sen 4x
sen 2x
8
2 8 6 C
x
sen 4x
sen 3 2x
C
16 64 48
dx
CAPÍTULO 32 Técnicas de integración II: integrandos trigonométricos
k n
2. Considérense las integrales de la forma tan xsec
xdx, con k y n enteros no negativos. Cabe recordar que
sec 2 x = 1 + tan 2 x.
Tipo 1. n es par: se sustituye u = tan x.
2 4
EJEMPLO 32.5. tan x sec xdx.
Sea u = tan x, du = sec 2 x dx. Entonces,
2 4 2 2 2 2
tan xsec xdx tan x( 1 tan x)sec xdx u ( 1u
2 ) du
( u u ) du u u C tan x tan 3
x
C
4 2 1
5
5 1
3
3 1
5
5 1
3