Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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19. Use la derivación implícita [fórmula (49.8)] para hallar z
x y z
y , dado F (x, y, z) = x2 + 3xy – 2y 2 + 3xz + z 2 = 0.
z
Fx
2x3y3z
x F 3x
2z
y
z
Fy
3x
4y
x F 3x
2z
20. Use la derivación implícita [fórmula (49.8)] para hallar z
x y z
y Sea F (x, y, z) = sen xy + sen yz + sen zx – 1; entonces,
y
z
z
, dado sen xy + sen yz + sen zx = 1.
F
ycos xy zcos zx, F
xcos xy zcos yz, F
x
y
z
ycosyz
xcos
zx
z
F/
x
ycos
xy
zcos
zx
,
x F/
z ycos
yz
xcos zx
z
F y xcos
xy zcos
yz
y
/
F
z
/ ycosyz
xcos zx
21. Sean u y v están definidas como funciones de x y y por las ecuaciones f (x, y, u, v) = x + y 2 + 2uv = 0 y g(x, y,
u, v) = x 2 – xy + y 2 + u 2 + v 2 = 0 halle a) u
x y v
x ; b) u
y y v
y .
a) Al derivar f y g parcialmente respecto a x se obtiene
1+
2 v ∂u
2 0
∂ + u
∂v
x ∂ = y 2x
y
2 u
u
x x 2v
v
x
0
Al resolver estas relaciones simultáneamente para u
x y v
se tiene que
x u
v uy ( 2x)
x 2( u
2 v
2 )
y v
v( 2x y)
u
x 2( u
2 v
2 )
b) Derivando f y g parcialmente respecto a y se obtiene
2y
+ 2 v ∂u
2u
0
∂ y
+ ∂v
∂ = y
y x 2 y 2 u u 2v
v
y y
0
CAPÍTULO 49 Diferencial total. Diferenciabilidad. Reglas de la cadena
Entonces,
u
ux ( 2y)
2vy
y 2( u
2 v
2 )
y
v
v( 2y x)
2uy
y 2( u
2 v
2 )
22. Dado u 2 – v 2 + 2x + 3y = 0 y uv + x – y = 0, encuentre a) u
x , v
x , u
y , v
y y b) x
u , y
u , x
v , y
v .
a) Aquí x y y se consideran variables independientes. Al derivar parcialmente las ecuaciones dadas respecto a
x se obtiene
2u u 2 2 0
x
v v x
y v
u
v
u x 1 0 x
Se resuelven estas relaciones simultáneamente para obtener u
u v
2 2
x u v
y v
v
u
x u 2 v
. 2
Al derivar parcialmente las ecuaciones dadas respecto a y se tiene
2u u 2 3 0
y
v v y
y v
u
v
u y 1 0 y
Se resuelven simultáneamente para llegar a u
2v
3u
y 2( u
2 v
2 ) y v
2u
3v
y 2( u
2 v
2 ) .
b) Aquí u y v se consideran variables independientes. Se derivan parcialmente las ecuaciones dadas respecto
a u y se obtiene
2u
2
x y
+ ∂ 3 0
∂ u
+ ∂ ∂ u
= y v + ∂ x
∂ − ∂ y
u ∂ u
= 0
Entonces,
x
2u
3v
u 5
y
y
2( v u) .
u 5