Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

249
b
10. Justifique la fórmula de capas cilíndricas: V = 2π ∫ xf( x) dx.
a
Se divide [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud x (fig. 30.16). Sea i la región por
*
encima del i-ésimo subintervalo. Sea x i
el punto medio x + x i− 1 i del i-ésimo intervalo. El sólido obtenido al
girar la región 2
i en torno al eje y es aproximadamente el sólido obtenido al girar el rectángulo con base x
y altura
* *
yi
= f( xi).
Este último sólido es una capa cilíndrica, es decir, queda entre los cilindros obtenidos al
*
girar los rectángulos con la misma altura f ( x i
) y con base [0, x i-1 ] y [0, x i ]. Por tanto, tiene volumen
2 * 2 * * 2 2
x f( x ) x f( x ) f( x )( x x )
i i i1
i i i i1
* * *
* *
f( xi)( xi xi
1)( xi xi
1)
f( xi)( 2xi)(
x) 2 xi f( xi)( x)
n
*
Luego, el V total se aproxima por 2 x1 f ( *
x )
b
1
x , el cual tiende a 2 xf( xdx ) cuando n + .
11. Justifique la fórmula de la sección transversal: V = ∫ A( x) dx.
i1
b
a
*
Se divide [a, b] en n subintervalos iguales [x i–1 , x i ], y se elige un punto x i
en [x i–1 , x i ]. Si n es grande, x es
pequeño y la pieza de sólido entre x i–1 y x i estará próxima a un disco (no circular) de grosor x y área de base
*
A( x i
) (fig. 30.17). Este disco tiene el volumen A( x * *
i
) x.
Entonces, V se aproxima mediante Ax (
i
) Δ x,
que
b
i=
1
tiende a Ax ( ) dx cuando n + .
a
y
a
n
∑
CAPÍTULO 30 Aplicaciones de integración II: volumen
y i
*
i
a
x i –1
x
x i
*
x i
b
x
Fig. 30.16
a
x i 1
x
x i
b
x
Fig. 30.17