Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

264
CAPÍTULO 32 Técnicas de integración II: integrandos trigonométricos
Tipo 2. n es impar y k es impar: se sustituye u = sec x.
EJEMPLO 32.6. tan 3
xsec
xdx.
Sea u = sec x, du = sec x tan x dx. Entonces,
tan3 x sec x dx = tan2 x sec x tan x dx (sec2 x –1) sec x tan x dx
2 1 3 1 3
( u 1) du 3 u uC 3 sec xsecxC
Tipo 3. n es impar y k es par. Este caso generalmente requiere un cálculo tedioso.
EJEMPLO 32.7.
2 3
tan2 x sec x dx (sec x1)sec xdx (sec xsec x)
dx
1 (sec xtan x ln | sec x
tan x |) C
2
1
(sec xtan x ln |sec x tan x|) ln |sec x
tan x|
C (por el problema 8 del capítulo 31)
2
3. Considérense integrales de la forma sen Ax cos Bx dx, sen Ax sen Bx dx, y cos Ax cos Bx dx. Se necesitarán
las identidades
sen Ax cos Bx = (sen (A + B) x + sen (A − B)x)
sen Ax sen Bx = (cos (A − B) x − cos (A + B)x)
cos Ax cos Bx = (cos (A − B) x + cos (A + B)x)
EJEMPLO 32.8.
EJEMPLO 32.9.
EJEMPLO 32.10.
1
1
sen 7 x cos 3x dx (sen (7 3)x sen (7 3)x) dx 2
2
1
2
1
2
1
2
(sen 10x sen 4x) dx
1 1
1
1
2
(
10
cos10x 4
cos 4x)
C
40 ( 2 cos 10x 5 cos 4x
) C
1
1
sen 7 x sen 3x dx 2 (cos(7 3)x cos(7 3)x) dx 2
1 1
2 4
( sen 4x sen
1
10
10x) C 1
40
1
1
cos 7 x cos 3x dx 2 (cos(7 3)x cos(7 3)x) dx 2
1 1
2 4
( sen 4x sen
1
10
10x) C 1
40
(cos 4x cos 10x) dx
(5 sen 4x 2 sen 10x) C
(cos 4x cos 10x) dx
(5 sen 4x 2 sen 10x) C
Sustituciones trigonométricas
Hay tres clases principales de sustituciones trigonométricas. En seguida se explica cada una mediante un ejemplo
típico.
EJEMPLO 32.11. Resuelva dx
∫
.
2 2
x 4 + x
Sea x = 2 tan , es decir, = tan –1 (x/2). Así,
2
2 2 2 2
dx = 2sec θdθ y 4+ x = 4+ 4tan θ = 2 1+ tan θ = 2 sec θ = 2|sec θ |