Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 14 Valores máximos y mínimos
Máximo y mínimo absolutos
Un máximo absoluto de una función f en un conjunto S ocurre en x 0 en S si f (x) f (x 0 ) para toda x en S. Un
mínimo absoluto de una función f en un conjunto S ocurre en x 0 en S si f (x) f (x 0 ) para toda x en S.
Método tabular para hallar el máximo y el mínimo absolutos
Sea f continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). Por el teorema del valor extremo, se sabe que f tiene un
máximo y un mínimo absolutos en [a, b]. Aquí se proporciona un método tabular para determinar qué son y
dónde ocurren (fig. 14.2).
x
f (x)
c 1
c 2
f (c 1 )
f (c 2 )
c n
a
b
f (c n )
f (a)
f (b)
Fig. 14.2
Primero se hallan los números críticos (si los hay) c 1 , c 2 ,… de f en (a, b). Segundo, se anotan estos números
en una tabla, junto con los puntos extremos a y b del intervalo. Tercero, se calcula el valor de f para todos los
números de la tabla.
Entonces:
1. El valor más grande de estos valores es el máximo absoluto de f en [a, b].
2. El valor más pequeño de estos valores es el mínimo absoluto de f en [a, b].
EJEMPLO 14.4. Halle el máximo y el mínimo absolutos de f (x) = x 3 – x 2 – x + 2 en [0, 2].
f (x) = 3x 2 – 2x – 1 = (3x + 1)(x – 1). Por tanto, los números críticos son x = – 1 3
y x = 1. El único número crítico
en [0, 2] es 1. En la tabla de la figura 14.3 se observa que el valor máximo de f en [0, 2] es 4, el cual se alcanza en el
punto extremo derecho 2, y el valor mínimo es 1, alcanzado en 1.
x
f(x)
1 1
0 2
2 4
Fig. 14.3
Es evidente por qué el método funciona. Por el teorema del valor extremo, f alcanza valores máximos y mínimos
en el intervalo cerrado [a, b]. Si cualquiera de tales valores ocurre en un punto extremo o terminal, ese
valor aparecerá en la tabla, y como en realidad es un máximo o un mínimo, aparecerá como el valor más grande
o más pequeño. Si se asume un máximo o un mínimo en el punto x 0 dentro del intervalo, f tiene un máximo o
un mínimo relativo en x 0 y, según el teorema 13.1, f (x 0 ) = 0. Así, x 0 será un número crítico y aparecerá en la
tabla, de manera que el valor máximo o mínimo correspondiente f (x 0 ) será el más grande o el más pequeño en
la columna de la derecha.
Teorema 14.1. Supóngase que f es una función continua definida en un intervalo J. El intervalo J puede ser un
intervalo finito o infinito. Si f tiene un extremo relativo único dentro de J, entonces ese extremo relativo también es
un extremo absoluto en J.
Para explicar el porqué de lo anterior, observe la figura 14.4, donde se supone que f tiene un extremo único,
un máximo relativo en c. Considere cualquier otro número d en J. La gráfica se mueve hacia abajo a ambos lados