Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 2 Sistemas de coordenadas rectangulares
Para observar esto, sea R el punto donde la recta vertical que pasa por P 2 corta la recta horizontal que pasa
por P 1 . La coordenada x de R es x 2 , lo mismo que para la de P 2 . La coordenada y de R es y 1 , la misma que
2
2
2
la de P 1 . Por el teorema de Pitágoras, ( PP
1 2) = ( PR
1
) + ( P2
R)
. Si A 1 y A 2 son las proyecciones de P 1 y P 2
sobre el eje x, los segmentos P 1 R y A 1 A 2 son lados opuestos de un rectángulo, de manera que P1R
= AA
1 2. Pero
AA
1 2
= | x1−
x2| por la propiedad (1.12); por consiguiente, P1R = | x1−
x2 | . De igual forma P2R = | y1−
y2|. Por
2
2
2
2
2
tanto, ( PP
1 2) = | x1− x2| + | y1− y2| = ( x1− x2) + ( y1−
y2)
.
Mediante la raíz cuadrada se obtiene la fórmula de la distancia. (Puede observarse que la fórmula también
es válida cuando P 1 y P 2 quedan en la misma recta vertical u horizontal.)
EJEMPLO 2.2.
a) La distancia entre (2, 5) y (7, 17) es
b) La distancia entre (1, 4) y (5, 2) es
( 2− 7) 2 + (5 − 17)
2 2 2
= ( − 5) + ( − 12)
= 25+ 144 = 169 = 13
2 2 2 2
( 1− 5) + ( 4− 2) = ( − 4 ) + (2) = 16+ 4= 20=
4 5 = 2 5
Fórmulas del punto medio
El punto M(x, y), que es el punto medio del segmento que une los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ), tiene las coordenadas
x1 + x2 y1 + y2
x =
y =
(2.2)
2 2
Así, las coordenadas de los puntos medios son los promedios de las coordenadas de los puntos extremos o
terminales (fig. 2.6).
y
P 2 (x 2 , y 2 )
M(x, y)
P 1 (x 1 , y 1 )
A B C
x 1
x x 2
x
Fig. 2.6
Para observar esto, sean A, B, C las proyecciones de P 1 , M y P 2 en el eje x. Las coordenadas x de A, B y C
son x 1 , x y x 2 . En virtud de que las rectas P 1 A, MB y P 2 C son paralelas, los cocientes PM
1
/ MP2
y AB/ BCson
iguales. Entonces, P1M
= MP2
y AB = BC . Como AB = x− x 1
y BC = x 2
− x
x − x = x −x
1 2
2x = x + x
x1 + x2
x =
2
(La misma ecuación es válida cuando P 2 está a la izquierda de P 1 , caso en el que AB = x 1
− x y BC = x − x 2
).
De forma similar, y = (y 1 + y 2 )/2.
1 2