Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

213
x
1
(26.19) adx
a a x
∫ = +
ln
C
Ésta es una consecuencia directa de (26.18).
1
x
EJEMPLO 26.4. 10
10 10 x
∫ = + C
ln
Se pueden derivar las propiedades comunes de las potencias.
(26.20) a 0 = 1
a 0 = e 0 ln a = e 0 = 1
(26.21) a u+v = a u a v
a u+v = e (u+v) ln a = e u ln a+v ln a = e u ln a e v ln a = a u a v .
u
u
a
(26.22) a − v
= v
a
Por (26.21), a u–v a v = a (u–v)+v = a u . Ahora, se divide entre a v .
(26.23) a − v
1
= v
a
Se remplaza u por 0 en (26.22) y se usa (26.20)
CAPÍTULO 26 Funciones exponenciales y logarítmicas
(26.24) a uv = (a u ) v
u ( )
a v e v ln( a u ) u a u a
= = e v ( (ln ))
( ) = e
v ln
= a uv
(26.25) (ab) u = a u b u
a u b u = e u ln a e u ln b = e u ln a+u ln b = e u(ln a+ln b) = e u ln(ab) = (ab) u
Recuérdese que D x (x r ) = rx r–1 para números racionales r. Ahora se puede demostrar la fórmula para todo
número real r.
(26.26) D x (x r ) = rx r–1
Como x r = e r ln x ,
D x (x r ) = D x (e r ln x ) = D u (e u )D x (u) (Regla de la cadena con u = r ln x)
u ⎛ 1
r
1
= e ⎛ ⎞
⎝
⎜ r ⎞
⎝ ⎠⎠
⎟ = ⎛
rx
⎞
x ⎝ ⎠ = r x r
( )
x x
= 1 rx r−1
Funciones logarítmicas generales
Sea a > 0. Se desea definir una función log a x que desempeñe el papel del logaritmo tradicional para la base a.
ln
Si y = log a x, entonces a y = x y, por consiguiente, ln(a y ) = ln x, y ln a = ln x, y x
=
ln a
.
Definición
ln
log x x
ln .
a
=
a
(26.27) y = log a x equivale a a y = x
ln x
y= loga
x ⇔ y=
⇔ yln
a = ln x
ln a
ln(a y ) = ln x a y = x ( es el símbolo de si y sólo si.)
Entonces, la función logarítmica general con base a es la inversa de la función exponencial general con
base a.
(26.28) a log x a
= x