Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Masas de densidad variable
Las masas homogéneas pueden tratarse como figuras geométricas con densidad = 1. La masa de un cuerpo
homogéneo de volumen V y densidad es m = V.
Para una masa no homogénea cuya densidad varía continuamente, un elemento de masa dm está dado
por:
1. (x, y) ds para una curva material plana (por ejemplo, un trozo de alambre fino).
2. (x, y) dA para una placa material bidimensional (por citar un caso, una lámina delgada de metal).
3. (x, y) dV para un cuerpo material.
El centro de la masa ( x, y ) de una placa plana distribuida sobre una región R con densidad (x, y) está determinado
por las ecuaciones
mx
= M y
y my = M x , donde My
δ( xyxdA , ) y Mx
= ∫∫ δ( xyydA , )
= ∫∫
Un resultado análogo se cumple para el centro de masa del cuerpo tridimensional. El razonamiento es semejante
al de los centroides expuesto en el capítulo 55.
Los momentos de inercia de una masa plana respecto al eje x y al eje y son I = ∫∫ δ( x , y ) y 2 dA y
I
y
= ∫∫ δ( x , y ) x 2 dA . Las fórmulas semejantes con integrales triples se cumplen para cuerpos tridimensionales
R
(por ejemplo, I = δ( x, y, z)( y + z ) dA
x
∫∫∫
R
2 2
.)
R
R
x
R
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Encuentre la masa de un alambre semicircular cuya densidad varía como la distancia al diámetro que une los
extremos.
Tome el alambre como en la figura 58.1, de manera que (x, y) = ky. Entonces, a partir de x 2 + y 2 = r 2
dy
ds = 1 +⎛ ⎞
dx =
r
⎝ dx ⎠ y dx
y m= ∫ δ( x , y ) ds= ∫ ky r dx = kr dx = kr
−r
y ∫ 2 2 unidades
−r
2
r
y
r
P(x, y)
y
(r, 0) O (r, 0)
x
506
Fig. 58.1