Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Sistemas de coordenadas lineales.
Valor absoluto. Desigualdades
Un sistema de coordenadas lineales
Un sistema de coordenadas lineales es una representación gráfica de los números reales (R) como puntos en
una línea recta. A cada número le corresponde uno y sólo un punto, y a cada punto le corresponde uno y sólo
un número.
Para establecer un sistema de coordenadas lineales en una recta es necesario: 1. seleccionar cualquier punto
de la recta como el origen y asignar a ese punto el número 0; 2. determinar una dirección positiva en la recta e
indicarla mediante una flecha; 3. tomar una distancia fija como unidad de medida. Si x es un número positivo,
el punto correspondiente a x se obtiene avanzando una distancia de x unidades a partir del origen en dirección
positiva. Si x es negativo, el punto correspondiente a x se halla desplazándose una distancia de –x unidades
desde el origen en dirección negativa (fig. 1.1.) Por ejemplo, si x = –2, entonces –x = 2 y el punto correspondiente
queda a 2 unidades del origen en dirección negativa.
−4 −3 −5/2 −2 −3/2 −1 0 1/2 1 √2 2 3 4
Fig. 1.1.
El número asignado a un punto por un sistema de coordenadas se denomina coordenada de ese punto. En
adelante, se hablará como si no hubiera distinción entre un punto y su coordenada. Así, al mencionar, por ejemplo,
el “punto 3” se entenderá el “punto con coordenada 3”.
El valor absoluto |x| de un número x se define como sigue:
x
si x es cero o un número positivo
x x si x es un número negativo
Por ejemplo, |4| = 4, |–3| = –(–3) = 3 y |0|= 0. Observe que si x es un número negativo, entonces –x es positivo.
Así, |x| 0 para todo x.
Las propiedades siguientes se cumplen para cualesquiera números x y y.
(1.1) |–x| = |x|
Cuando x = 0, |–x| = |–0| = |0| = |x|.
Cuando x > 0, –x < 0 y |x| = –(–x) = x = |x|.
Cuando x < 0, –x > 0 y |x| = –x = |x|.
(1.2) |x – y| = |yx|
Esto se sigue de (1.1), ya que y – x = –(x – y).
(1.3) |x| = c implica que x = ±c.
Por ejemplo, si |x| = 2, entonces x = ± 2. Para la demostración se supone que |x| = c.
Si x 0, x = |x| = c. Si x < 0, – x = |x| = c; entonces x = –(–x) = –c.
(1.4) |x| 2 = x 2
Si x 0, |x| = x y |x| 2 = x 2 . Si x 0, |x| = –x y |x| 2 = (–x) 2 = x 2 .
(1.5) |xy| = x |y|
Por (1.4), |xy| 2 = (xy) 2 = x 2 y 2 = |x| 2 |y| 2 = (|x| · |y|) 2 .
Como los valores absolutos son no negativos, al obtener la raíz cuadrada queda |xy| = |x| · |y|.
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