Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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8. Analice la función del problema 4 del capítulo 6 cuando x a – y cuando x a + cuando a es cualquier entero
positivo.
Considere, como caso típico, a = 2. Cuando x 2 – , f (x) 10; cuando x 2 + , f (x) 15. Entonces,
lím f( x)
no existe. En general, el límite no existe para todos los enteros positivos. (Sin embargo, observe que
x2
lím f( x) = lím f( x)
= 5, ya que f (x) no está definida para x 0.)
x→0 x→ 0
+
2
9. Utilice la definición precisa para demostrar que lím ( x 3x)
10.
x2
Sea > 0. Observe que (x – 2) 2 = x 2 – 4x + 4, y entonces x 2 + 3x – 10 = (x – 2) 2 + 7x – 14 = (x – 2) 2 + 7(x
– 2). Por tanto, |(x 2 + 3x) – 10| = |(x – 2) 2 + 7(x – 2)| |x – 2| 2 + 7|x – 2|. Si se selecciona como el mínimo de
1 y /8, entonces 2 y, por consiguiente, 0 < |x – 2| < implica |(x 2 + 3x) – 10| < 2 + 7 + 7 = 8 .
CAPÍTULO 7 Límites
10. Si lím gx ( ) B 0 , demuestre que existe un número positivo tal que 0 < |x – a| < implica |g (x)| > | |
xa Con = |B|/2 se obtiene un positivo tal que 0 < |x – a| < , y entonces |g(x) – B| < |B|/2. Ahora, si
0 < |x – a| < , entonces |B| = |g(x) + (B – g(x))| |g(x)| + |B|/2 y, por consiguiente, |B|/2 < |g(x)|.
11. Suponga que i) lím f ( x ) A y ii) lím gx ( ) B . Pruebe:
xa xa a) lím [ f( x) g( x)]
A B b) lím f ( x ) g ( x ) AB
f
c) lím ( x )
A
, si B 0
xa
xa xa
gx ( ) B
a) Sea > 0. Entonces, /2 > 0. Por i) y ii), existen 1 y 2 positivos tales que 0 < |x – a| < 1 implica que
|f (x) – a| < /2 y 0 < |x – a| < 2 implica que |g(x) – B| < /2. Sea el mínimo de 1 y 2 . Entonces, para 0
< |x – a| < , |f (x) – A| < /2 y |g(x) – B| < /2. Por consiguiente, para 0 < |x – a| < ,
|f (x) + g(x) – (A + B)| = |(f (x) – A)| + (g(x) – B)|
| f(
x) A| | g( x)
B|
2 2
b) Sea > 0. Escoja como el mínimo de /3 y 1 y /(3|B|) (si B 0), y /(3|A|) (si A 0). Observe que
() 2 , ya que 1. Además |B| /3 y |A| /3. Por i) y ii), existe un 1 y un 2 positivos
tales que 0 < |x – a| < 1 implica que |f (x) – A| < y 0 < |x – a| < 2 implica que |g(x) – B| < . Sea el
mínimo de 1 y 2 . Ahora, para 0 < |x – a| < .
|f (x)g(x) – AB| = |(f (x) – A)(g(x) – B) + B(f (x) – A) + A(g(x) – B)|
|(f (x) – A)(g(x) – B)| + |B(f (x) – A)| + |A(g(x) – B)|
= |(f (x) – A)||(g(x) – B)| + |B||(f (x) – A)| + |A||(g(x) – B)|
( * 2
)
| B| * | A|
* *
3 3 3 3 3
1
c) Por el inciso b), basta mostrar que lím xa gx
= B1
. Sea > 0. Entonces, B 2 /2 > 0, por lo cual existe un 1
positivo tal que 0 < |x – a| < 1 implica que |g(x) – B| < | B|
2 2 .
Por el problema 10, existe un 2 positivo tal que 0 < |x – a| < 2 implica que |g(x)| > |B|/2. Sea el
mínimo de 1 y 2 ; entonces 0 < |x – a| < implica que
1
1
gx ( ) B
12. Pruebe que para cualquier función polinomial
| B
g( x)
| 2
| B|
2
2
| B|| g( x)
| 2 | B|
f (x) = a n x n + a n–1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 , lím f( x) = f(
a)
x→a
Esto se deduce de los teoremas 7.1-7.4 y el hecho obvio de que lím x
a.
13. Pruebe las generalizaciones siguientes de los resultados del problema 3. Sean f (x) = a n x n + a n–1 x n-1 + …+ a 1 x +
a 0 y g(x) = b k x k + b k–1 x k–1 + … + b 1 x + b 0 dos polinomios
a)
f
lím ( x ) an
si n = k
x
gx ( ) b
k
xa
B 2 .