Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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(17.3) D x (sen x) = cos x
(17.4) D x (cos x) = –sen x
Para ver una demostración de (17.3), repase el problema 2. A partir de (17.3) se puede deducir (17.4), con
la ayuda de la regla de la cadena y (16.8), de esta manera:
Dx(cos x) Dx
sen
x cos
x ( 1) senx
2 2
Gráfica de sen x
Como sen (x + 2) = sen x, sólo se debe construir la gráfica para 0 x 2. Al igualar D x (sen x) = cos x = 0
y observando que cos x = 0 en [0, 2] cuando y sólo cuando x = /2 o x = 3/2, se hallan los números críticos
/2 y 3/2. Como D 2
x(sen x) = Dx
(cos x) =− sen x, y –sen (/2) = –1 < 0 y –sen (3/2) = 1 > 0, el criterio de la
segunda derivada implica que existe un máximo relativo en (/2, 1) y un mínimo relativo en (3/2, –1). Puesto
que D x (sen x) = cos x es positivo en el primer y cuarto cuadrantes, sen x es creciente para 0 < x < /2 y para
3/2 < x < 2. En virtud de que D 2
x
(sen x) =− senx
es positivo en el tercer y cuarto cuadrantes, la gráfica es
cóncava hacia arriba para < x < 2. Así, habrá un punto de inflexión en (, 0), así como en (0, 0) y (2, 0).
Parte de la gráfica se muestra en la figura 17.2.
CAPÍTULO 17 Derivación de funciones trigonométricas
Gráfica de cos x
Obsérvese que sen (/2 + x) = sen (/2) cos x + cos (/2) sen x = 1 cos x + 0 sen x = cos x. Así, la gráfica de
cos x puede trazarse moviendo la gráfica de sen x en /2 unidades a la izquierda, como se muestra en la figura
17.3.
y
1
3
–
2
–
2
– 0
6
4 3
2
4
2
x
–1
y = sen x
Fig. 17.2
1
–π
–
π
2
0
π π π
6 4 3
π
2
3π
4
π
3π
2
2π
5π
2
–1
= cos
Fig. 17.3