Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

387
15. 1 3 1 6 1 9
3 x + 6 x + 9 x +⋅⋅⋅
+∞
n
Sea f ( x)=
x
∑ 3
3n1
2 5 8
. Luego, f ( x)
3 n x x x x .
n=
1
n1
Esta es una serie geométrica con cociente x 3 . Entonces, converge para |x 3 | < 1, que equivale a |x| < 1. Por
2
tanto, f ( x)
x
3
para |x| < 1. Por consiguiente, f x
x
1 x
( ) = 2
x dx 1
=−
−
ln| − x 3
∫
| + C
3
1
3 1 . Pero, f(0) = 0, por lo
que C = 0. Asimismo, 1 – x 3 > 0 para |x| < 1. Por tanto,
1 3
f ( x) =− 3 ln( 1− x ) para | x|
< 1.
16. x + 2x 3 + 3x 5 + 4x 7 + …
El criterio de la razón muestra que la serie converge para |x| < 1. Sea
+∞
∑
+∞
3 5 7 2 1
∑
gx ( )= x+ x + x + x +⋅⋅⋅= nx n −
2 3 4
2 1
Entonces, 2gx
( )= 2nx n −
. Por ende, al obtener las antiderivadas,
n=
1
+∞
2
2n
2 gxdx K x K
x
2
∫ ( ) = + ∑ = +
2
(ya que x
1 − x ∑ n es una serie geométrica con cociente x2 ).
Ahora se deriva:
n=
1
2gx
( ) = D
x
+∞
n= 1
n=
1
2
x 2x
2
2 2
gx
x
( 2
1 − x ) = ( 1 x ) , ( ) =
−
( 1−
x )
2
para |x| < 1
CAPÍTULO 46 Serie de potencias
12 / ln ( 1 + x)
17. (CG) Aproxime ∫ dx con una precisión de dos cifras decimales (es decir, con un error < 5/10
0 x
3 ).
1 2 1 3 1 4
Por la fórmula (46.8), ln ( 1 + x)
= x− 2 x + 3 x − 4 x +⋅⋅⋅ para |x| < 1, entonces
Por el teorema (46.6b),
que es una serie alternada convergente.
∫
+ ∞ n
ln ( 1 + x) 1 1 2 1 3 ( −1)
x
= 1 − 2 x+ 3 x − 4 x +⋅⋅⋅=
x
∑ n + 1
+∞ n
ln ( 1 + x) ( −1)
n+
⎤
dx =
x
x ∑ n + 1 n + 1⎥
n=
0 ⎦
12 /
1
0
1/
2
0
n=
0
n=
0
+∞
−1
= ∑ ( ) n
( n 1)
n
1
2
2 n+
1
+
A fin de obtener una aproximación con error menor que 5/10 3 , se debe hallar n tal que el primer término
omitido 1 1
( 1) 2 n+
5
1 . Así, hay que obtener 200 (n + 1) 2 2 n+1 . Por ensayo y error se muestra que
n + 2
1 3
10 200
n 3. Por tanto, se pueden utilizar los términos correspondientes a n = 0, 1, 2:
1
2
−
1
+
1
=
65
~ 045 .
16 72 144
Esta respuesta se confirma mediante una graficadora, con la que se obtiene 0.44841421 como una
aproximación.
+∞
n n
18. Encuentre la función definida por ∑ 2 x .
n=
0
Esta es una serie geométrica con razón r = 2x y primer término 1. Por tanto, converge para |2x| < 1, es decir,
para |x| < 1 y su suma es 1
2
1− 2x .
+∞
19. Halle el intervalo de convergencia de
x
∑ n
.
ln ( n + 1)
n=
1
Aplique el criterio de la razón:
s
n+
1
n
n+
1 x x n
=
|| || ln ( + 1)
= || x
s ln ( n + 2)
ln ( n + 1)
ln ( n + 2)
n