Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 48 Derivadas parciales
2 2
x y
EJEMPLO 48.3. Demuestre que lím
2 2 no existe.
( xy , ) ( 00 , ) x y
Sea (x, y) (0, 0) a lo largo del eje x, donde y = 0. Entonces x 2 y 2
− 2
x
2 2
=
2
= 1. Entonces, el límite a lo largo del
x + y x
eje x es 1. Ahora sea (x, y) (0, 0) a lo largo del eje y, donde x = 0. Entonces x 2 y 2 2
− y
2 2
=−
2
=− 1. Luego, el límite a
x + y y
lo largo del eje y es –1. Por tanto, no puede haber límite común cuando 1 tiende a (0, 0) y el límite no existe.
2
2 2
EJEMPLO 48.4. Demuestre que lím
x y
2 2 no existe.
( x, y) ( 0, 0)
x y
2 2
2
x y
Aquí no se puede utilizar el mismo argumento que el del ejemplo 48.3, porque
2 2
tiende a 1 cuando (x,
x y
y) tiende a (0, 0) tanto a lo largo del eje x como del eje y. Sin embargo, si (x, y) tienden a (0, 0) a lo largo de la recta
2 2 2
x y
2 2
2
2 2
2
−
y = x. Entonces,
x x
2 2
=
−
x y
( 2 2
0
x + y ) ( x + x ) = . Por tanto, 2 2
0
x y a lo largo de y = x. Como esto es diferente
del límite 1 aproximado a lo largo del eje x, no existe límite cuando (x, y) (0, 0).
Continuidad
Sea f una función de dos variables y se supone que hay puntos en el dominio de f arbitrariamente próximos
a (a, b). Entonces f es continua en (a, b) si y sólo si f está definida en (a, b), lím f ( x , y ) existe, y
( x, y) ( a, b)
lím f ( x , y ) f ( a , b ).
( x, y) ( a, b)
Se dice que f es continua en un conjunto A si f es continua en cada punto de A.
Esta es una generalización para dos variables de la definición de continuidad para las funciones de una variable.
Las propiedades básicas de las funciones continuas de una variable (teorema 8.1) se transfieren fácilmente a
dos variables. Además, todo polinomio en dos variables, tales que 7x 5 – 3xy 3 – y 4 + 2xy 2 + 5, es continuo en todos
los puntos. Toda función continua de una variable también es continua como una función de dos variables.
Las nociones de límite y continuidad tienen generalizaciones obvias a funciones de tres o más variables.
Derivadas parciales
Sea z = f(x, y) una función de dos variables. Si x varía mientras que y permanece fija, z se vuelve una función
de x. Entonces, su derivada respecto a x
f
lím ( x x , y ) f ( x , y )
x0
x
se denomina la (primera) derivada parcial de f respecto a x y se denota con f x (x, y) o z
x o f
x .
De igual forma, si y varía en tanto que x se mantiene fija, la (primera) derivada parcial de f respecto a y es
z f f x y y f x y
fy( x, y) lím ( , ) ( , )
y
y
y0
y
EJEMPLO 48.5. Sea f(x, y) = x 2 sen y. Entonces f x (x, y) = 2x sen y y f y (x, y) = x 2 cos y.
Se observa que, cuando se calcula f x , a y se le trata temporalmente como una constante, y cuando se calcula f y , a
x se le trata temporalmente como una constante.
Las derivadas parciales tienen interpretaciones geométricas simples. Se considera la superficie z = f(x, y) en la
figura 48.1. Por el punto P(x, y, z), existe una curva APB que es la intersección con la superficie del plano que pasa
por P paralelo al plano xz (el plano determinado por el eje x y el eje z). De igual forma, CPD es la curva que pasa por
P y que es la intersección con la superficie z = f(x, y) del plano que pasa por P paralelo al plano yz. Cuando x varía y y
se mantiene fija, P se mueve a lo largo de la curva APB, y el valor de z
en (x, y) es la pendiente de la recta tangente
x a la curva APB en P. De igual forma, cuando y varía mientras x se mantiene fija, P se mueve a lo largo de la curva
CPD, y el valor de z
en (x, y) es la pendiente de la recta tangente a la curva CPD en P.
y