Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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La rotacional de una función vectorial F, o del cross, está definida por
(Véase el problema 8.)
rot F F =
i j k
x
y
z
f1 f2 f3
⎛
= ∂ − ∂ ⎞ ⎛
i
j
⎝
⎜ ∂ ∂ ⎠
⎟ +
∂ − ∂ ⎞
⎝
⎜ ∂ ∂ ⎠
⎟ + ∂ y f z f z f x f ⎛
∂x f
3 2 1 3 2− ∂ ⎞
1
⎝
⎜ ∂y f ⎠
⎟ k (53.22)
Integración
La explicación sobre integración se limitará a la integración ordinaria de vectores y a las llamadas integrales de
línea (curvilíneas). Como ejemplo de la primera, sea
F(u) = i cos u + j sen u + auk
CAPÍTULO 53 Derivación e integración de vectores
un vector que depende de la variable escalar u. Entonces,
F'(u) = –isen u + jcos u + ak
y u u
sen
F( ud ) ( isen jcos uak)
du
i udu j cosudu
k adu
= icosu+ jsenu+ auk+
c
= F( u)
+ c
donde c es un vector constante arbitrario de u. Además,
(Véanse los problemas 9 y 10.)
ub
ub
F( u) du [ F( u) c] ua
F( b) F( a)
ua
Integrales de línea (curvilíneas)
Considérese dos puntos P 0 y P 1 en el espacio, unidos por un arco C. El arco puede ser un segmento de una línea
recta o una parte de una curva en el espacio x = g 1 (t), y = g 2 (t), z = g 3 (t), o puede constar de varios subarcos de
curvas. En cualquier caso, supóngase que C es continua en cada uno de sus puntos y que no se interseca a sí
misma. Considere, además, la función vectorial
F = F(x, y, z) = if 1 (x, y, z) + jf 2 (x, y, z) + kf 3 (x, y, z),
que en todo punto de una región en torno a C, en particular en todo punto C, define un vector de magnitud y
dirección conocidas. Se representa por
r = xi + yj + zk (53.23)