Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

382
CAPÍTULO 46 Serie de potencias
EJEMPLO 46.5. Ya se sabe, por el ejemplo 46.1, que para |x| < 1,
1
2 3
1
1 x
x
n
n
x x x x
(46.6)
n0
Ahora, D
1 1
x ( 2
1−
x ) = . Entonces, por el teorema 46.7,
( 1−
x) 1
( 1 x)
2
2 n1
12x3x nx
para |x| < 1
n
nx
1 ( n1)
n 1
n 0
x n
EJEMPLO 46.6.
Se sabe que
1
2 3
1
1 x x n
n
x x x x
n0
Se remplaza x por –x (lo cual es permisible, ya que |-x| = |x| < 1). El resultado es
+∞
para |x| < 1
1
2 3
1 1
1 + = − n
= − n n
x ∑ ( x) ∑( ) x = − x + x − x +⋅⋅⋅
(46.7)
n=
0
+∞
n=
0
Por el teorema 46.6a), se puede integrar término a término:
∫
+∞
n 1
dx
n x
K
1 + 1
1
x
= − +
∑( )
n + 1
+ = ∑( − )
n=
0
+∞
n=
1
n−1
n
x
n
+ K para |x| < 1
+∞
n
n−
ln 1+ x = −
x
∑( 1)
1 + K
n
n=
1
para |x| < 1
Con x = 0 y observando que ln 1 = 0, se advierte que K = 0.
También se observa que para |x| < 1, se tiene que –1 < x < 1, 0 < 1 + x < 2 y, por consiguiente, |1 + x| = 1 + x.
Por tanto,
+∞
ln ( 1 ) ( 1) 1 n
n−
+ x = −
x
∑ para | x|
< 1
n
n=
1
El criterio de la razón muestra que esta serie converge.
Si se remplaza x por x – 1 se obtiene
ln x ( 1)
n1
= x− 1 2
x +
1 3
x −
1 4
x +⋅⋅⋅
(46.8)
2 3 4
n1
( x 1)
n
Se observa que |x – 1| < 1 equivale a 0 < x < 2.
Así, ln x es definible por una serie de potencias dentro de (0, 2).
n
para |x – 1| < 1 (46.9)
0
n
Teorema 46.8. Teorema de Abel. Supóngase que la serie de potencias an( x
c)
tiene un intervalo finito de
n
convergencia |x – c| < R 1 y sea f una función cuyos valores en ese intervalo están dados por tal serie de potencias. Si
la serie de potencias también converge en el punto terminal de la derecha b = c + R 1 del intervalo de convergencia,
entonces lím xb– f(x) existe y es igual a la suma de la serie en b. El resultado análogo se cumple en el punto terminal
de la izquierda a = c – R 1 .
Si desea consultar una demostración, la encontrará en libros más avanzados.