Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Teorema 8.1.
Suponga que f y g son continuas en x 0 . Entonces:
a) La función constante h(x) = c para todo x es continua en todo x 0 .
b) cf es continua en x 0 , para cualquier constante c. (Recuerde: cf tiene el valor c f (x) para cada argumento x.)
c) f + g es continua en x 0 .
d) f – g es continua en x 0 .
e) fg es continua en x 0 .
f) f/g es continua en x 0 si g(x 0 ) ≠ 0.
g) n f es continua en x 0 si n f( x0 ) está definida.
Estos resultados provienen de los teoremas 7.1 a 7.6. Por ejemplo, c) se cumple porque
CAPÍTULO 8 Continuidad
lím ( f( x) + g( x)) = lím f( x) + lím g( x)
=
x→x0 x→x0 x→x0
f( x ) + g( x )
0 0
Teorema 8.2. La función identidad I(x) = x es continua en todo x 0 .
Esto se deduce del hecho de que lím x
x
xx0
0
.
Se dice que una función f es continua en un conjunto A si f es continua en todo punto A. Además, si tan sólo
se dice que f es continua, significa que f es continua en todo número real.
La idea intuitiva original tras la noción de continuidad suponía que la gráfica de una función continua era
“continua” en el sentido intuitivo de que era posible trazarla sin levantar el lápiz del papel. Por consiguiente,
la gráfica no podría contener ningún “hueco” o “salto”. Sin embargo, la definición precisa de continuidad va
más allá de tal noción intuitiva original; algunas funciones continuas muy complicadas no podrían dibujarse
en una hoja de papel.
Teorema 8.3.
es continua.
Toda función polinomial
f (x) = a n x n + a n–1 x n–1 + ...+ a 1 x + a 0
Ésta es una consecuencia del teorema 8.1(a-e) y del teorema 8.2.
EJEMPLO 8.5. Como un caso del teorema 8.3, considere la función x 2 + 2x + 3. Observe que, por el teorema 8.2,
la función identidad x es continua y, por tanto, por el teorema 8.1(e), x 2 es continua, y por el teorema 8.1b), –2x
es continua. Por el teorema 8.1a), la función constante 3 es continua. Finalmente, por el teorema 8.1c), x 2 – 2x + 3 es
continua.
Teorema 8.4. Toda función racional H(x) = f ( x )
, donde f (x) y g(x) son funciones polinomiales, es continua en el
gx ( )
conjunto de todos los puntos en los que g(x) ≠ 0.
Esto proviene de los teoremas 8.1(f) y 8.3. Como ejemplos, la función H( x)= 2
x −
es continua en todos los
1
x
puntos excepto 1 y –1, y la función G( x)= − 7
2 es continua en todos los puntos (ya que x 2 + 1 nunca es 0).
x + 1
Se debe utilizar una noción especial de continuidad respecto a un intervalo cerrado [a, b]. En primer lugar, se
dice que una función f es continua a la derecha en a si f (a) está definida, existe lím xa + f (x) y lím xa + f (x) =
f (a). Se dice que f es continua a la izquierda en b si f (b) está definida, existe lím xb – f (x) y lím xb – f (x) = f (b).
Definición. f es continua en [a, b] si f es continua en cada punto de un intervalo abierto (a, b), f es continua a la
derecha en a y es continua a la izquierda en b.
Observe que si f es continua en [a, b], no depende de ningún valor de f, fuera de [a, b]. También advierta
que cada función continua (es decir, una función continua en todos los números reales) debe serlo en cualquier
intervalo cerrado. En especial, toda función polinomial es continua en todo intervalo cerrado.
Se pretende analizar en profundidad ciertas propiedades sobre las funciones continuas que se utilizarán, pero
esas demostraciones van más allá del objetivo de esta obra.
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