Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 53 Derivación e integración de vectores
En (2, 1, –2), F 1 = 4i + 2j – 4k y F 2 = 4i + 4j – k.
Ahora F 1 F 2 = |F 1 ||F 2 | cos q, donde q es el ángulo solicitado. Así,
(4i + 2j – 4k) (4i + 4j – k) = |4i + 2j – 4k||4i + 4j – k| cos q
14
de donde cos 99 33 = 0.81236, y q = 35° 40.
8. Cuando B = xy 2 i + 2x 2 yzj – 3yz 2 k, encuentre a) div B y b) rot B.
a) div B B x i y j
z k
xy 2 i 2x 2 yzj 3yz 2 k
x xy2
y 2x2 yz
z 3yz
2
y 2 2x 2 z 6yz
b)
i j k
rot B B
x y z
xy 2x yz 3yz
2 2 2
⎡
= ∂ 3 ( 2 )
∂ − − ∂ ⎤
⎣⎢
∂ ⎦⎥ + ∂ − ∂ y
( yz
2) xyz
z
2 i ⎡
∂z ( xy2)
∂x
( −
⎣⎢
⎡
+ ∂ − ∂ ⎤
( )
⎣
⎢ ∂x
( 2 xyz
2 ) ∂y xy2
⎦
⎥
k
= –(3z 2 + 2x 2 y)i + (4xyz + 2xy)k
yz ) ⎤ j
⎦⎥
3 2
9. Dado F(u) = ui + (u 2 – 2u)j + (3u 2 + u 3 )k, encuentre a) F( u)
du y b) F( u)
du.
0
2 2 3
a) ∫ F( u) du= ∫[ ui+ ( u − 2u) j+ ( 3u + u ) k]
du
2 2 3
i udu+ j ( u 2u) duk
( 3u u)
du
( ) ( ) + + +
2 3
4
=
u
+
u 2 3
i −u
j u
u
k c
2 3 4
donde c = c 1 i + c 2 j + c 3 k con c 1 , c 2 , c 3 escalares arbitrarios.
1
b) F( u ) du
2 3
4
u
i
u
u j u
u
2 3
k
1
2
0
2 3 4 2
i 5
3
j 4
k
10. La aceleración de una partícula en cualquier instante t 0 está dada por a = dv
dt = et i + e 2t j + k. Si en t = 0 el
desplazamiento es r = 0 y la velocidad es v = i + j, halla r y v en un instante t cualquiera.
Aquí
v = ∫ a dt = i ∫ e t
dt + j ∫ e 2t
dt + k ∫ dt
= e t 1 2t
i+ 2 e j+ tk+
En t = 0, se tiene que v = i + 1 2 j + c = i + j de donde c = 1 1 1 2
j, entonces,
c 1
t 1 2t
v= e i+ 2 ( e +1) j+
tk
1
0
1
( ) +
t 1 2t
1 1 2
y r= ∫ v dt = e i+ 4 e + 2 t j + 2 t k c
2