Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 42 Sucesiones infinitas
3. Para cada una de las sucesiones siguientes, determine si es no decreciente, creciente, no creciente, decreciente
o ninguna de las anteriores. Luego determine su límite, si existe.
a) s 5n
− 2
n
7n
+ 3
b) s
n
n
= 2
n
c) S n = 1 3 n
a) Sea f ( x)=
5x
− 2
7x
+ 3 . Entonces, ( 7x3)( 5) ( 5x2)( 7)
f ( x)
29
2 2
0
( 7x
3) ( 7x
3)
Por tanto, f (x) es una función creciente y, por ende, s n es una sucesión creciente.
x
x
b) Sea f ( x)= x
2 x(ln x) 2 1
2
x . Entonces, f x
x(ln 2)
( )
2x
x
2
2
1
Como ln 2 > 2
[por (25.12)], x(ln 2) > x ≥ l, cuando x 2. Luego, 1 – x(ln 2) < 0 cuando x 2 y, por tanto,
2
f (x) < 0 cuando x 2. Entonces, f (x) es decreciente para x 2, y ello implica que s n es decreciente para n 2.
1
Nótese que s1
= 2 = s 2
. Así, s n es no creciente. Ahora se halla el límite. Por la regla de L’Hôpital,
lím
x
x
lím
1
x
x (ln )
x
0 y, de esta manera, lím
n
n
0
2 22
n 2
s
c)
s n + 1
=
1 1
( n+
) ( n ) = 1
<
1
n
3 3 3 1. Por tanto, s n es decreciente
n
El teorema 42.4b) indica que lím
1
n
lím
1
0
n
3 n
3
4.
n
Demuestre que la sucesión s 1357 ⋅ ⋅ ⋅ ... 2 − 1
n
2⋅4⋅6⋅8 ...
( 2n)
es convergente.
De acuerdo con el teorema 42.8, s n es acotada, como 0 < s n < 1. Ahora se demostrará que s n es
decreciente. Observe que
n
s 1357 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ( 2 + 1)
s
n
n+ =
2 + 1
1
2⋅4⋅6⋅8⋅⋅⋅ ( 2n
+ 2)
n
2n
+ 2
n
5. Demuestre el teorema 42.1: toda sucesión convergente s n es acotada.
Sea lím n s n
L. Se toma = 1. Entonces, hay un entero positivo n 0 tal que, siempre que n n 0 , se tiene
que |s n – L| < 1. Por ende, para n n 0 , mediante la desigualdad triangular se obtiene
|s n | = |(s n – L) + L| |s n – L| + |L| < 1 + |L|
Si se toma M como el máximo de 1 + |L| y | s 1
|| , s 2
|| , s 3
| , ..., | s n
| , se obtiene |s
0
n | M para todo n. Así, s n es
acotada.
6. Demuestre que la sucesión
n!
n
es divergente.
2
Puesto que n !
n
n
=
123 ⋅ ⋅ ...
=
1 3 4 ... n
2 2⋅2⋅2 ...
>
n
para n > 4, la sucesión no es acotada. Entonces, por el
2 2 2 2 2 2
teorema 42.1, la sucesión no puede ser convergente.
7. Pruebe el teorema 42.3: si lím n s n
y s n ≠ = 0 para todo n, entonces lím
1
n n
s
0.
Considere todo > 0. Como lím n s n
, existe algún entero positivo m tal que, cuando n m,
| s n
| > ∈ 1 y, por tanto, 1
0
1
s
− = s
1, entonces lím n a ; b) Si |r| < 1, entonces lím n r 0.
a) Sea M > 0 y sea |a| = 1 + b. Entonces, b > 0. Ahora |a| n = (1 + b) n = 1 + nb + … > 1 + nb > M cuando n
M
.
b
n
b) Sea a = 1/r. Como |r| < 1, |a| > 1. Por el inciso a), lím n
a . Por tanto, lím n ( 1 ) . Entonces,
por el teorema 42.3, lím n
r n
n r 0 .