Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 13 Teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientes
Ahora F (a) = 0 por (2), y F (b) = 0. Por el teorema de Rolle, existe x 0 en (a, b) tal que
f(
x0)
2
F( x0) f( x0) [ f( x0)( b x0) f( x0)]
( b x
2!
0) f( x0)( b
x0)
Entonces, K =
( n
f ) ( n1)
( x )
1
0
( 1)! ( ) f ( x )
n
b x
n
0
( n 2)! ( b x ) n2
0
0
f
( x )
1
( n)
0
n
b
x
( n )! ( ) 1
0
( n
f )
( x )
n! 0 y (2) se vuelve (1).
Kn( b x)
n
0
1
0
Kn( b x)
n1
0
15. Si f (x) = 0 para toda x en (a, b), entonces f es constante en (a, b).
Sean u y v dos puntos cualesquiera en (a, b), con u < v. Por el teorema del valor medio, existe x 0 en (u, v)
para el cual f () v f () u = f (x
v u
0 ). Por hipótesis, f (x 0 ) = 0. Entonces, f (v) – f (u) = 0 y, por consiguiente, f (v) = f (u).
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
16. Si f (x) = x 2 – 4x + 3 en [1, 3], halle un valor prescrito por el teorema de Rolle.
Respuesta: x 0 = 2.
17. Halle un valor enunciado por el teorema del valor medio, dado:
a) y = x 3 en [0, 6]. Respuesta: x 0
= 2 3 .
b) y = ax 2 + bx + c en [x 1 , x 2 ]. Respuesta: x = ( x + x ) .
0
1
2 1 2
18. Si f (x) = g(x) para toda x en (a, b), demuestre que existe una constante K tal que f (x) = g(x) + K para toda x
en (a, b). [Sugerencia: D x (f (x) – g(x)) = 0 en (a, b). Por el problema 15, existe una constante K tal que
f (x) – g(x) = K en (a, b).]
19. Halle un valor x 0 prescrito por el teorema del valor medio cuando f (x) = x 2 + 2x – 3, g(x) = x 2 – 4x + 6 en el
intervalo [0, 1].
Respuesta:
1
2
.
20. Demuestre que x 3 + px + q = 0 tiene a) una raíz real si p > 0, y b) tres raíces reales si 4p 3 + 27q 2 < 0.
21. Pruebe que f ( x)=
ax + b
no tiene ni un máximo relativo ni un mínimo relativo. (Sugerencia: utilice el teorema
cx + d
13.1.)
22. Demuestre que f (x) = 5x 3 + 11x – 20 = 0 tiene exactamente una solución real.