Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Ahora todo depende de la razón r. Si |r| < 1, entonces lím n+ r º n = 0 [por el teorema 42.4b)] y, por consiguiente,
lím n+ S n = a/(1 – r). Si |r| > 1, entonces lím n+ r n = [por el teorema 42.2a)] y, por tanto, lím n+ S n = .
(Una excepción baladí se presenta cuando a = 0. En este caso, todos los términos son 0, la serie converge y su
suma es 0.) Estos resultados se resumen en seguida.
Teorema 43.1. Dada la serie geométrica ar n–1 :
a
a) Si |r| < 1, la serie converge y tiene suma
1− r
b) Si |r| > 1 y a 0, la serie diverge a .
1 n1
EJEMPLO 43.2. Tómese la serie geométrica ( 2 ) con razón r = 1 2 y primer término a = 1:
CAPÍTULO 43 Series infinitas
1 1 2
+ + + +⋅⋅⋅
Por el teorema 43.1a), la serie converge y tiene suma
1 1
1 n1
= = 2. Así, ( )
1−
( ) 2 2.
1
4
1
8
1
2
1
2
Se puede multiplicar una serie s n por una constante c para obtener una nueva serie cs n , y se pueden sumar
dos series s n y t n para obtener una nueva serie (s n + t n ).
Teorema 43.2.
Si c 0, entonces cs n converge si y sólo si s n converge. Además, en el caso de convergencia,
cs c s
n
n
n1 n1
Para obtener este resultado, denótase por T n = cs 1 + cs 2 + + cs n la n–ésima suma parcial de la serie cs n .
Entonces, T n = cS n es la n–ésima suma parcial de s n . Luego, lím n+ T n existe si y sólo si existe lím n+ S n y,
cuando los límites existen, lím n+ T n = c lím n+ S n . Esto resulta por el teorema 43.2.
n1
Teorema 43.3.
converge y
Supóngase que dos series s n y t n convergen ambas. Entonces, su suma (s n + t n ) también
( s t ) s t
n n n n
n1 n1 n1
Para comprobarlo, sean S n y T n la n–ésima suma parcial de s n y t n , respectivamente. Entonces, la n–ésima
suma parcial U n de (s n + t n ) se observa fácilmente como S n + T n . Luego, lím n+ U n = lím n+ S n + lím n+ T n .
Esto resulta por el teorema 43.3.
Supóngase que dos series s n y t n ambas convergen. Entonces, su diferencia (s n – t n ) tam-
Corolario 43.4.
bién converge y
n1
( s t ) s t
n n n n
n1
n1
Esto se deduce directamente de los teoremas 43.2 y 43.3. Sólo obsérvese que (s n – t n ) es la suma de s n
y la serie (–1)t n .
Teorema 43.5. Si s n converge, entonces lím n+ s n = 0.
+∞
∑
Para comprobarlo, sea s = S. Esto significa que lím n+ S n = S, donde, como es usual, S n es la n–ésima
n=
1
n
suma parcial de la serie. También se tiene que lím n+ S n–1 = S. Pero s n = S n – S n–1 . Entonces, lím n+ s n =
lím n+ S n – lím n+ S n–1 = S – S = 0.
Corolario 43.6. (Teorema de divergencia.)
Ésta es la consecuencia lógica inmediata del teorema 43.5.
Si lím n+ s n no existe o lím n+ s n ≠ 0, entonces s n diverge.