Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 29 Aplicaciones de integración I: Área y longitud de arco
EJEMPLO 29.1. Considere la región limitada a la derecha por la parábola x = 4 – y 2 , a la izquierda por el eje y, y
2
2
por encima y por debajo por y = 2 y y = –1 (fig. 29.3). Entonces, el área de esta región es ( 4 y ) dy . Por el teorema
1
fundamental del cálculo, se tiene que
1 3 2
( 4y− 3 y )] = ( 8− ) −( −4−( − )) = 12− = 12− 3=
y
8 1 9
−1
3 3 3 9
2
1
0
1 2 3 4 5
x
–1
–2
Fig. 29.3
Área entre curvas
Sean f y g funciones continuas tales que g(x) f(x) para a x b. Entonces, la curva y = f(x) queda por encima
de la curva y = g(x) entre x = a y x = b. El área A de la región que yace entre las dos curvas y que queda entre
x = a y x = b se obtiene con la fórmula
b
A ( f( x) g( x)) dx
(29.1)
a
Para comprender por qué la fórmula se cumple, primero observe un caso especial donde 0 g(x) f(x) para
a x b (fig. 29.4). Claramente el área es la diferencia entre dos áreas, el área A f de la región bajo la curva
y = f(x) y por encima del eje x, y el área A g de la región bajo la curva y = g(x) y por encima del eje x. Como
b
b
Af
= ∫ f( x) dx y A gxdx
a
g
= ∫ ( ) ,
a
b
b
A Af
Ag
f ( x) dx g x dx
a
( )
a
b
( f( x) g( x))
dx por (23.6)
a
y
y f(x)
y g(x)
a
O
b
x
Fig. 29.4