Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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4
b) y =
x
−
2
1 x
Respuesta: simétrica respecto al eje y, asíntotas verticales x = 1, mínimo relativo en (0, 0), máximos
relativos en ( ± 2 −4), sin puntos de inflexión, cóncava hacia arriba para |x| < 2.
c) y = x +
x
3
Respuesta: asíntota vertical x = 0, mínimo relativo en (1, 3), punto de inflexión en ( − 20 , ), cóncava hacia
3
arriba para x 0.
2 2
d) y 3 = 6x 2 – x 3
Respuesta: máximo relativo en ( 4, 2 3 4)
, mínimo relativo en (0, 0), donde hay una “cúspide”, punto de
inflexión en (6, 0), cóncava hacia arriba para x > 6, asíntota oblicua y = –x + 2 a la izquierda y a
la derecha.
2
e) y = 1+ x
x − 1
Respuesta: asíntota vertical x = 1, máximo relativo en (0, 1), mínimo relativo en (2, 5), cóncava hacia arriba
para x > 1 y hacia abajo para x < 1, no hay puntos de inflexión, creciente para x < 0 y x > 2,
decreciente para 0 < x < 1 y 1 < x < 2, asíntota oblicua y = x + 2.
f) y =
x
2
x + 1
Respuesta: Simétrica respecto al origen, máximo relativo en (1, 1 2), mínimo relativo en (–1, − 1 2) creciente
–1 < x < 1, cóncava hacia arriba en − 3 < x < 0 y x > 3, cóncava hacia abajo en x 4 3 y hacia abajo para x < 4 3
, punto de
4 4
inflexión en ( 3 , 9 3 ).
3
h) y = x 2 − x
Respuesta: máximo relativo en x = 3 2, creciente para x < 3 2
, cóncava hacia abajo para x < 3, punto de
inflexión en (3, –3).
i) y =
x + 1
2
x
Respuesta: asíntota vertical x = 0, asíntota horizontal y = 0 en ambos lados, mínimo relativo (–2, − 1 4 ),
creciente para –2 x 0, cóncava hacia arriba –3 < x < 0 y x > 0, punto de inflexión en (–3, − 9 2 ),
y + cuando x 0.
14. Demuestre que toda función F (x) que esté definida para toda x puede expresarse de una y sólo una forma
como la suma de una función par y una función impar. [Pista: sea E( x) = ( F( x) + F( −x))
1
2 .]
15. Halle una ecuación de la nueva curva C 1 que se obtiene cuando la gráfica de la curva C con una ecuación
x 2 – 3xy + 2y 2 = 1 se refleja en a) el eje x, b) el eje y, c) el origen.
Respuestas: a) x 2 – 3xy + 2y 2 = 1; b) igual que a); c) el mismo C.
16. a) Si la gráfica de f es simétrica respecto al eje y, demuestre que f es par. b) Si la gráfica de f es simétrica
respecto al origen, entonces demuestre que f es impar. [Pista: para a), si x está en el dominio de f, (x, f (x)) está
en la gráfica y, por tanto, (–x, f (x)) está en la gráfica. Entonces, f (–x) = f (x).]