Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 25 El logaritmo natural
4. Halle a) D x (ln(x 4 + 7x)); b) D x (ln(cos 2x)); c) D x (cos (ln 2x)).
a)
3
1
4x
+ 7
4
3
Dx(ln ( x + 7x)) =
4
( 4x
+ 7)
=
4
x + 7x
x + 7x
b)
1
2sen2x
Dx(ln (cos 2x))
= ( −sen 2x)( 2 ) =−
cos2x
c os 2x
=−2tan2x
c) D (cos (ln 2x )) ( sen (ln 2x
)) 1
x x
( 2 ) sen (ln 2x)
2
x
5. Halle las antiderivadas siguientes. Use la fórmula abreviada II cuando sea posible.
7
a)
1
dx ; b) 4x
8x
3 8
dx ; c)
x 4 dx
3x
2 2
; d)
x
x 5 2
x 4x
5 dx
a) 1 1 8 1
dx dx 8x 3 C
8x
3 8 ln | |
8x
3 8
7
b) 4 1 7
x
24
1 8
8
dx x
3 2 6
8
dx 6 ln | 3x 2|
C
x 3x
2
c)
x 4 dx x dx 4
2
dx
x 5
2
x 5
2
x 5
1
2
2x
dx 4 1 1
2
tan x
x 5 5
5
1
4 5
2 1
ln ( x 5) tan x
2
5
5
C
d) Complete el cuadrado en el denominador: x dx x
2
2
dx
x 4x5
.
( x 2)
1
Sea u = x – 2, du = dx.
x dx u 2 du u du 2
2
du
( x ) u
2
2 1 1 2
u 1 2
u 1
ln ( u 1) 2tan uC ln ( x 4x5) 2tan ( x 2)
C
1
2
2 1 1
2
2 1
2 2
x( 1 − x )
6. Derivación logarítmica. Halle la derivada de y =
2 1/
2.
( 1 + x )
Primero se obtienen los logaritmos naturales de los valores absolutos de ambos miembros:
Ahora se obtienen las derivadas de ambos lados:
2 2
x( 1−
x )
2 2
ln || y = ln
2 1/
2
= ln | x( 1− x ) | −ln | ( 1+
x )
( 1+
x )
2 2 1 2
= ln || x + ln | ( 1− x ) | − 2 ln ( 1+
x )
2 1 2
= ln |x| + 2ln | 1− x | − 2 ln ( 1+
x )
1 4x
x
y y
1 1 x( 1
x )
2 2
2
x x x ( 1
x ) /
2 1/ 2|
1 1 2 1 1 1 4
2
2
y y x x
( x) ( x)
x 1 x 2 2 1
x
2 x 1 x
2 1
x
2 2
1 4
x
x x
1 x
1 x
12 2 2
7. Demuestre que 1 1 ln x x1
para x > 0. (Cuando x 1, las desigualdades estrictas se cumplen.)
x
Cuando x > 1, 1/t es una función decreciente en [1, x] y entonces su mínimo en [1, x] es 1/x y su máximo es
1. Así, por los problemas 3c) y 15 del capítulo 23,
1
1
1
1 1 1 1
x x x x
( ) ln 1
t dt x luego,
ln x x
.
x
2