Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

189
Fig. 23.3
CAPÍTULO 23 La integral definida. Área bajo una curva
La aproximación mejora cada vez que se divide el intervalo [a, b] en más y más subintervalos y cuando las
longitudes de éstos se hacen mucho más pequeñas. Si las aproximaciones sucesivas pueden hacerse tan próximas
a un número específico como se desee, entonces ese número se representará por
b
a
f( x)
dx
y se denominará la integral definida de f desde a hasta b. Ese número no existe en todos los casos, pero sí existe,
b
por ejemplo, cuando la función f es continua en [a, b]. Cuando f( x)
dxexiste, su valor es igual al área A bajo
a
la curva.*
b
En la notación f( x)
dx, b se denomina límite superior y a se llama límite inferior de la integral definida.
a
Para cualquier función (no necesariamente no negativa) f en [a, b], pueden definirse las sumas de la forma
(1) sin utilizar la noción de área. Si hay un número al que puedan aproximarse tales sumas tanto como se desee,
a medida que n se vuelve más y más grande y cuando el máximo de las longitudes k x tiende a 0, entonces ese
b
número se representa por f( x)
dx y se denomina integral definida de f en [a, b].
b
a
Cuando f( x)
dx existe, se dice que f es integrable en [a, b].
a
b
Supóngase, sin verificación, que f( x)
dxexiste para toda función f que sea continua en [a, b]. Si se desea
b
a
evaluar f( x)
dx basta hallar el límite de una secuencia de sumas (1) para las cuales el número n de subintervalos
tiende a infinito y las longitudes máximas de los subintervalos se aproximan a
a
0.
EJEMPLO 23.2.
Demuéstrese entonces que
b
1 dx b a
(2)
a
Sea a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x n-1 < x n = b una subdivisión de [a, b]. Entonces, una suma correspondiente (1) es
n
f( x* ) x
x
k k
k1 k1
n
k
ba
Como toda suma de aproximación es b – a, 1 dx = b – a.
b
a
(porque f(x) = 1 para toda x)
* La integral definida también se denomina integral de Riemann de f en [a, b], y la suma (1) se conoce como la suma
Riemann para f en [a, b].