Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 30 Aplicaciones de integración II: volumen
Esto se deduce obviamente de la fórmula de capas cilíndricas, ya que el volumen requerido es la diferencia de
los dos volúmenes obtenidos mediante la fórmula de capas cilíndricas. Nótese que una fórmula similar es válida
cuando los papeles de x y y se invierten.
EJEMPLO 30.5. Considere la región del primer cuadrante limitada por encima por y = x 2 , por debajo por y = x 3
y que queda entre x = 0 y x = 1. Cuando se le gira en torno al eje y, esta región genera un sólido de revolución cuyo
volumen, de acuerdo con la diferencia de la fórmula de capas, es
1
1
1 1
2 3 3 4
4 5
2 xx ( x) dx 2 ( x x)
dx 2
x x
0
0
4
5 1
1
2 1
4 5 10
0
Fórmula de la sección transversal (fórmula de las rebanadas)
Supóngase que un sólido queda por completo entre el plano perpendicular al eje x en x = a y el plano perpendicular
al eje x en x = b. Para cada x tal que a x b, supóngase que el plano perpendicular al eje x en ese valor
de x corta el sólido en una región de área A(x) (fig. 30.8). Entonces, el volumen V del sólido está dado por
En el problema 11 se ofrece una comprobación.
b
a
V = ∫ A( x) dx (Fórmula de la sección transversal) †
A(x)
a
x
b
x
Fig. 30.8
EJEMPLO 30.6. Suponga que la mitad de un salami de longitud h es tal que una sección transversal perpendicular
al eje del salami, a una distancia x del extremo O, es un círculo de radio x (fig. 30.9). Por tanto, el área A(x) de la
sección transversal es ( x) 2
x
. Así, con la fórmula de la sección transversal se obtiene
h
h h
2
V A x dx xdx
x
( )
2
0
0
2
h
0
2
x
O
x
h
x
Fig. 30.9
† Está fórmula también se conoce como la fórmula de las rebanadas porque cada área de corte transversal A(x) se obtiene cortando
el sólido en rebanadas.