Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 57 Integrales triples
11. Localice el centroide del volumen cortado en la hoja de un cono de ángulo en el vértice de 60° por una esfera
de radio 2 cuyo centro está en el vértice del cono.
Se toma la superficie como en la figura 57.11, de manera que x = y = 0. En coordenadas esféricas, la
ecuación del cono es /6 y la ecuación de la esfera es r = 2. Entonces,
3
y z = M / V = 8 ( 2+
3 ).
xy
/ 2 / 6 2
/ 2 / 6
2
V dV 4
n d d d
32
se
sen
d d
0 0
0
3 0
0
R
32 3 / 2
1
8
( )
3
2
d
0 3 2 3
2
M zdV 4
( cos ) sen
d d d
xy
R
/ 2 / 6
/ 2 / 6
8 sen 2 dd
0
0
0
0
0
2
f
r
q
Fig. 57.11
12. Determine el momento de inercia respecto al eje z del volumen del problema 11.
/ 2 / 6 2
2 2 2 2 2
Iz
( x y ) dV
4
( sen ) sen
d d d
0 0
0
R
/ 2 / 6
128
sen
3
128 2 3
5 0 d d
0
5 3 8 3
/
2
8
5 2 3
d ( 16 9 3)
V
0 5
5
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
13. Describa la curva determinada por cada uno de los pares de ecuaciones siguientes dados en coordenadas
cilíndricas: a) r = 1, z = 2; b) r = 2, z = q; c)
, r = 2; d)
, z = r.
4 4
Respuesta: a) círculo de radio 1 en el plano z = 2 con centro de coordenadas rectangulares (0, 0, 2);
b) hélice en el cilindro circular recto r = 2; c) recta vertical que pasa por el punto de
coordenadas rectangulares (1, 1, 0); d) recta que pasa por el origen en el plano
, formando
4
un ángulo de 45° con plano xy.