Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Integrales impropias
b
Para definir una integral definida f( x)
dxes suficiente que a y b sean números reales y que f (x) sea continua
a
en [a, b]. Se deben estudiar ahora dos clases de integrales, denominadas integrales impropias.
Límites de integración infinitos
a) f x dx
( ) lím f( x)
dx
a c
a
Véase los problemas 1 a 3 y 5 a 6.
b
b) f x dx
( ) lím f( x)
dx
c
b
c
c
Véase el problema 4.
a
a
c) f( x) dx f( x) dx
f( x)
dx
Esto siempre que existan ambos límites a la derecha (véase el problema 7).
Discontinuidades del integrando
a) Si f es continua en [a, b] pero discontinua desde la derecha en a, entonces
Véase el problema 16.
b
a
f( x) dx
lím f( x)
dx
b
ua u
b) Si f es continua en [a, b] pero no es continua desde la izquierda en b, entonces
Véase los problemas 9, 10, 12, 14 y 15.
b
a
f( x) dx
lím f( x)
dx
u
ub a
c) Si f es continua en [a, b] excepto en el punto c en (a, b), entonces
b
a
u
f( x) dx
lím f( x) dx
lím f( x)
dx
uc
a
b
uc
u
siempre que ambas integrales a la derecha existan. Véase los problemas 11 y 13.
Cuando el límite definido como una integral impropia existe, entonces la integral es convergente. En el caso
opuesto, la integral es divergente. Si la integral es divergente, entonces es igual a + (respectivamente –) si
el límite que define la integral impropia tiende a + (correspondientemente, –).
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