Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 19 Movimientos rectilíneo y circular
Movimiento circular
El movimiento de una partícula P a lo largo de un círculo queda completamente definido por la ecuación =
f(t), donde es el ángulo central (en radianes) barrido en el instante t por una recta que une a P con el centro
del círculo. Las coordenadas x y y de P están dadas por x = r cos y y = r sen .
Por velocidad angular de P en el instante t se entiende d .
dt
Por aceleración angular de P en el instante t se entiende d d
2 2
.
dt dt
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta según la ley s= 1 3
t −2t. Determina su velocidad y aceleración al
2
cabo de 2 segundos.
v
ds 3
= = t −
dt 2 2 3 2
2; por tanto, cuando t = 2, v = 2 ( 2) − 2=
4 pies/s.
a =
dv
= 3 t ; por consiguiente, cuando t = 2, a = 3(2) = 6 pies/s
dt
2 .
2. La trayectoria de una partícula que se mueve en línea recta está dada por s = t 3 – 6t 2 + 9t + 4.
a) Halle s y a cuando v = 0.
b) Halle s y v cuando a = 0.
c) ¿Cuándo s es creciente?
d) ¿Cuándo v es creciente?
e) ¿Cuándo cambia la dirección del movimiento?
Se tiene que
v =
ds
= 3t − t+ = t − t − a= dv
= t −
dt
2 12 9 3 ( 1 )( 3 ), 6 2
dt
( )
a) Cuando v = 0, t = 1 y 3. Cuando t = 1, s = 8 y a = –6. Cuando t = 3, s = 4 y a = 6.
b) Cuando a = 0, t = 2. En t = 2, s = 6 y v = –3.
c) s es creciente cuando v > 0, es decir, cuando t < 1 y t > 3.
d) v es creciente cuando a > 0, es decir, cuando t > 2.
e) La dirección del movimiento cambia cuando v = 0 y a ≠ 0. Del inciso a) se tiene que la dirección cambia
cuando t = 1 y t = 3.
3. Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la ecuación s = f(t) = t 3 – 9t 2 + 24t.
a) ¿Cuándo s es creciente y cuándo decreciente?
b) ¿Cuándo v es creciente y cuándo decreciente?
c) Halle la distancia total recorrida en los primeros 5 segundos de movimiento.
Se tiene que
v =
ds
= 3t − t+ = t − t − a= dv
= t −
dt
2 18 24 3 ( 2 )( 4 ), 6 3
dt
( )
a) s es creciente cuando v > 0, es decir, cuando t < 2 y t > 4.
s es decreciente cuando v < 0, es decir, cuando 2 < t < 4.
b) v es creciente cuando a > 0, es decir, cuando t > 3.
v es decreciente cuando a < 0, es decir, cuando t < 3.
c) Cuando t = 0, s = 0 y el cuerpo está en O. El movimiento inicial es a la derecha (v > 0) durante los
primeros 2 segundos; cuando t = 2, el cuerpo está s = f(2) = 20 pies de O.
Durante los siguientes 2 segundos, se mueve a la izquierda, después de los cuales está a s = f(4) = 16
pies de O.
Luego se mueve a la derecha y después de 5 segundos de movimiento está s = f(5) = 20 pies de O. La
distancia total recorrida es 20 + 4 + 4 = 28 pies (fig. 19.5).