Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 41 Coordenadas polares
9. Investigue r = 1 + sen q para las tangentes horizontales y verticales (fig. 41.13).
O
x
Fig. 41.13
En P(r, q):
( 1+ sen θ)cosθ
+ cosθ senθ
cos θ ( 1+
2sen θ)
tanτ
=
2
=−
− ( 1+
sen θ )senθ
+ cos θ (sen θ + 1)( 2sen θ −1)
Se establece cos q(1 + 2 sen q) = 0 y al resolver para (despejar) x se obtiene
,
3 , 7 y
11 .
2 2 6 6
También se establece (sen q + 1)(2 sen q – 1) = 0 y al despejar se obtiene
3
, 2 6 y 5 .
6
Para
existe una tangente horizontal en (2, 2 2 ).
y 6 .
Para
7
y
11 hay tangentes horizontales en 1
,
7
6 6
2 6
1
,
11
2
Para =
y
5
3 hay tangentes verticales en , 3 5
6 6
2
6 y ,
2
6
Para
3
, por el problema 5, existe una tangente vertical en el polo.
2
10. Demuestre que el ángulo que forma el radio vector a cualquier punto de la cardioide r = a(1 – cos q) con la
curva, es la mitad del que forma el radio vector con el eje polar.
En cualquier punto P(r, q) sobre la cardioide
r' = a sen q y tan
1 cos
tan
.
'
sen
2
Entonces, 1 2 .
En los problemas 11 a 13, determine los ángulos de intersección del par de curvas dadas.
11. r = 3 cos q, r = 1 + cos q (fig. 41.14).
O
x
Fig. 41.14
Al despejar 3 cos q = 1 + cos q para los puntos de intersección se obtiene
también se intersecan en el polo.
Para r = 3 cos q: r' = –3 sen q y tan y 1 = –cot q
Para r = 1 + cos q: r' = –sen q y tan
cos
2
1
sen
3
2
,
3 y
3
,
5
2 3 . Las curvas