Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Derivación implícita
Funciones implícitas
Una ecuación f (x, y) = 0 define a y como una función implícita de x. El dominio de esa función implícitamente
definida consta de las x para las que existe una única y tal que f (x, y) = 0.
EJEMPLO 11.1.
1−
x
a) Se puede despejar y en la ecuación xy + x – 2y – 1 = 0, para obtener y =
x − 2
. Esta función está definida
para x 2.
b) La ecuación 4x 2 + 9y 2 – 36 = 0 no determina una función y única. Si se despeja y en la ecuación se
2 2
tiene que y =± 3 9 −x
. Hemos de considerar que la ecuación define implícitamente dos funciones,
2 2
2
y = 3 9 − x
2
y y =−3
9 −x
. Cada una de estas funciones está definida para |x| 3. La elipse
determinada por la ecuación original es la unión de las gráficas de las dos funciones.
Si y es una función definida implícitamente por una ecuación f (x, y) = 0, la derivada y puede hallarse de
dos formas:
1. Se despeja y en la ecuación y se calcula y directamente. Salvo para ecuaciones muy sencillas, este método
resulta casi siempre imposible o impráctico.
2. Se considera y como función de x, se derivan ambos miembros de la ecuación original f(x, y) = 0 y se despeja
y en la ecuación resultante. Este proceso de derivación se conoce como derivación implícita.
EJEMPLO 11.2.
a) Halle y, dado xy + x – 2y – 1 = 0. Por derivación implícita, xy+ yD x (x) – 2y – D x (1) = D x (0). Así, xy +
1
y – 2y = 0. Al despejar y se obtiene: y = y
2 x
. En este caso, en el ejemplo 11.1a) se demuestra que es
posible remplazar y por 1 − x
y hallar y en términos sólo de x. Resulta evidente que también hubiera sido
x − 2
1−
x
fácil derivar y +
x − 2
mediante la regla del cociente. Sin embargo, en la mayoría de los casos, no se puede
despejar y o y en términos sólo de x.
b) Dado 4x 2 + 9y 2 – 36 = 0, halle y cuando x = 5. Por medio de la derivación implícita se tiene que 4D x (x 2 )
+ 9D x (y 2 ) – D x (36) = D x (0). Así, 4(2x) + 9(2yy) = 0. [Observe que D x (y 2 ) = 2yy por la regla de la cadena
de potencias.] Al despejar y queda y = – 4x/9y. Cuando x = 5, y =± 4 3
. Para la función y correspondiente
al arco superior de la elipse [consulte el ejemplo 11.1b)], y =− 4 3 y y 53 / . Para la función y
correspondiente al arco inferior de la elipse, y =− 4 3 y y 53 / .
Derivadas de orden superior
Las derivadas de orden superior pueden calcularse mediante derivación implícita o por una combinación de
derivación directa e implícita.
1
EJEMPLO 11.3. En el ejemplo 11.2a), y y
. Entonces,
2 x
1 y
( 2 xy ) ( 1 y)( 1)
y Dx( y ) Dx
2
2 x ( 2 x)
1
y
( 2 x)
xy y 1
x
y
( 2 ) 1
2
2
2y
2
2
2
( 2 x)
( 2 x) ( 2 x)
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