Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 28 Crecimiento y decrecimiento exponencial
5. Si la población de un país es 100 millones de personas y crece exponencialmente con una constante k = ln 2,
calcule con exactitud la población dentro de cinco años.
Por (28.2), la población y = y 0 e kt = 10 8 e (ln 2)5 = 10 8 (e ln 2 ) 5 = 10 8 (2 5 ) = 32(10 8 ). Por tanto, la población llegará
a 3.2 miles de millones de personas en cinco años.
6. Vida media del carbono. Cierto isótopo 14 C de carbono se presenta en los organismos vivos en una
proporción fija del carbono ordinario. Cuando el organismo muere, su 14 C decrece exponencialmente y su vida
media es de 5730 años. Considérese que una pieza de carbón vegetal proveniente de un incendio forestal se
encontró en una cueva y contiene sólo 9% de 14 C esperando en un trozo de madera de un árbol vivo. (Esta cifra
se obtiene al medir la cantidad de carbono ordinario en el pedazo de carbón vegetal.) ¿Hace cuánto se quemó
la madera para formar el carbón vegetal?
Si y es la cantidad de 14 C presente en el trozo de carbón vegetal, se tiene que y = y 0 e kt . La cantidad presente
es 0.09y 0 = y 0 e k , donde es el tiempo transcurrido. Entonces, 0.09 = e k , ln (0.09) = k, = (ln (0.09))/k. Como
la vida media T = 5730 y k = (ln 2)/T = –(ln 2)/5730, se obtiene
5730 ln( 0. 09)
5730 (ln100 ln 9)
19906 años
ln2
ln2
7. Ley del enfriamiento de Newton. La razón de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la
diferencia entre temperatura del objeto y la del medio que lo rodea.
Suponga que un refrigerador se mantiene a una temperatura constante de 45 °F y que se coloca un objeto
con temperatura de 80 °F dentro de él. Si la temperatura del objeto cae de 80 °F a 70 °F en 15 minutos, ¿en
cuánto tiempo la temperatura del objeto bajará a 60 °F?
Sea u la temperatura del objeto. Entonces, por la ley del enfriamiento de Newton, du/dt = k(u – 45) para
alguna constante k (negativa). Sea y = u – 45. Así, dy/dt = du/dt = ky. Entonces, por (28.2), y = y 0 e kt . Como u
tiene inicialmente 80 °F, y 0 = 80 – 45 = 35. Así, y = 35e kt cuando t = 15, u = 70 y y = 25. Por tanto, 25 = 35e 15k ,
5 = 7e 15k y, por consiguiente, 15 5
1
k = ln ( 7) = ln5 −ln 7. Entonces, k = 15 (ln5−ln 7). Cuando la temperatura del
objeto es de 60 °F, y = 15. Por ende, 15 = 35e kt , 3 = 7e kt , 3 = 7e kt 3
y, por consiguiente, kt = ln( 7) = ln3−ln 7 .
Entonces,
ln3−
ln7
ln3−
ln7
t = = 15 ∼ 37.
7727 minutos
k ln5−
ln7
En consecuencia, se necesitan aproximadamente 22.7727 minutos para que la temperatura del objeto baje de
70 °F a 60 °F.
8. Interés compuesto: Suponga que los ahorros de una cuenta ganan intereses a una tasa de r% anual. Al cabo de
un año, una cantidad de P dólares se volvería P 1
r
( + 100 ) dólares, y después de t años se convertirá P 1 +
r
100
dólares. No obstante, si se calcula el interés n veces al año en lugar de una vez al año, entonces en cada
periodo la tasa de interés sería (r/n)%; después de t años, habrán pasado nt de tales periodos y el monto final
nt
sería P 1+
r
100n
t
( )
( ) . Si n +, entonces el interés se compone continuamente. En tal caso, la cantidad final sería
nt
n
⎛ r
r
lím P +
⎞ ⎡ ⎛
= P lím +
⎞ ⎤
n→+∞
⎝
⎜1 100 n⎠
⎟ ⎢n→+∞⎝
⎜1 100 n
⎣
⎠
⎥ =
⎦
t
Pe 001rt . por (26.16)
Se depositan 100 dólares en una cuenta de ahorros que paga una tasa de interés de 4% anual. Después de
cinco años, cuánto habrá en la cuenta si:
a) ¿El interés se calcula una vez al año?
b) ¿El interés se calcula trimestralmente (es decir, cuatro veces por año)?
c) ¿El interés se compone continuamente?
a) 100(1.04) 5 ~ 121.6653 dólares
b) 100(1.01) 20 ~ 122.0190 dólares
c) 100e 0.04(5) = 100e 0.2 ~ 122.1403 dólares