Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

131
EJEMPLO 16.1.
a) Si = /2, la posición final B es (0, 1). Por tanto, cos (/2) = 0 y sen (/2) = 1.
b) Si = , entonces B es (–1, 0). Por ende, cos = –1 y sen = 0.
c) Si = 3/2, entonces B es (0, –1). Así, cos (3/2) = 0 y sen (3/2) = –1.
d) Si = 0 o = 2, entonces B es (1, 0). Por tanto, cos 0 = 1 y sen 0 = 0, y cos 2 = 1 y sen 2 = 0.
Se observa que estas definiciones coinciden con las definiciones tradicionales en el caso de un ángulo agudo
de un triángulo. Sea un ángulo agudo de un triángulo rectángulo DEF y sea OBG un triángulo semejante con
hipotenusa 1 (fig. 16.7). Como los triángulos son semejantes, BG / BO = EF / ED, es decir, BG = b/ c y, de igual
forma OG = a/ c. Entonces, cos = a/c y sen = b/c. Esto es lo mismo que las definiciones tradicionales:
lado adyacente
lado opuesto
cos
hipotenusa
y sen
hipotenusa
E
Fig. 16.7
CAPÍTULO 16 Repaso de trigonometría
y
Hipotenusa, c
Lado
opuesto, b
B(cos , sen )
1
b
c
D
Lado
adyacente, a
F
O
a
c
G A(1, 0)
x
Ahora es posible utilizar los valores obtenidos de la trigonometría del bachillerato [véase el problema
22a-c)]. En la tabla 16.1 se muestran los valores más útiles.
Primero se presentan algunas consecuencias simples de las definiciones.
(16.1) cos ( + 2) = cos y sen ( + 2) = sen .
Esto se cumple porque una rotación completa adicional de 2 radianes implica regresar al mismo
punto.
Tabla 16.1
Radianes Grados cos sen
0 0 1 0
/6 30 3/2 1/2
/4 45 2/2 2/2
/3 60 1/2 3/2
/2 90 0 1
180 –1 0
3/2 270 0 –1