Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

375
sn
n
Por consiguiente lim
y, por el teorema de divergencia, s n diverge.
1 sn
1
c) Considere .
n
lím lím
1 1
lím
n
sn
n
n
n n
1
n
n 1 1. En este caso, la serie diverge. Ahora
considere
1
n
2
sn
lím lím
lím
n
sn
n
( n
) n
2
1 1 1 n
2 2
1
n
n 1 1
En este caso, la serie converge.
15. Justifique el criterio de la raíz (teorema 45.4).
a) Supóngase que lím n n | sn| r
1. Se selecciona t de manera que r < t < 1. Entonces, existe un número
positivo m tal que
n | s | t para n m. Por tanto, |s n | t n para n m. Por consiguiente, |s n | converge por
n
comparación con la serie geométrica convergente t n . Entonces, s n es absolutamente convergente.
b) Supóngase que lím n n | sn| r y r > 1 o r = +. Se selecciona t de manera que 1 < t < r. Para algún entero
positivo m,
n | sn|
t para n m. Entonces, |s n | tn para n m. Como lím n
n t , lím n s n = . Por
consiguiente, por el teorema de divergencia, s n diverge.
c) Considere
1
y
1
n . En ambos casos, lím
n 2
n n | sn| 1. (Nótese que lím n n –n lím n e –(1n n)/n 1).
En los problemas 16 a 22, aplique el criterio de la razón para probar la convergencia de las series.
CAPÍTULO 45 Series alternadas
16. 1 +
2 3 4
2
+
3
+
4
3
+⋅⋅⋅.
3 3 3
sn+
1
=
n + 1 n n
n+
n
=
1 + 1 s
1
. Entonces,
n
lím
sn
3 3 3 n
n→+∞
s
Así, la serie converge por el criterio de la razón.
n
+ 1
=
n
17. 1 +
2! 3 4
2
+
!
3
+
!
4
+⋅⋅⋅
3 3 3 3
.
s
n
n
= ! sn
n
n.
Entonces,
n n
3
s
+ 1 ( + 1)! =
!
n n
= + 1
+ 1
n 3 3 3
sn
1
Luego, lím y la serie diverge por el criterio de la razón.
n
s
1
3 < 1
18. 1+ 12 ⋅ +
123 ⋅ ⋅ +
1234 ⋅ ⋅ ⋅ +⋅⋅⋅.
13 ⋅ 135 ⋅ ⋅ 1357 ⋅ ⋅ ⋅
s = n!
n
135 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅( 2n
−1) .
sn+ 1 ( n + 1)!
Entonces, =
n!
=
n + 1
.
sn
13 ⋅ ⋅5⋅⋅⋅⋅⋅ ( 2n
+ 1)
1⋅3⋅5⋅⋅⋅⋅⋅⋅( 2n
−1)
2n
+ 1
sn 1
Así, lím
1
1 . Por tanto, la serie converge por el criterio de la razón.
n s 2
19. 2 +
3 1
+
4 1 5 1
2
+
3
+⋅⋅⋅.
2 4 3 4 4 4
Así, lím
n
n
n
+ 1
( ) ( ) = nn
4
+1
s
n
n
= + 1 1
s
n−. n 4 1
n+
1
. Entonces, =
n + 2 1 n 1 1
n
n−
sn
n + 1 4 n 4
sn 1
1
1. Por tanto, la serie converge por el criterio de la razón.
s 4
20. 1 2 2
1 2
2
+
+ 3 1 4 1
3
3
3
2 + 1
+ +
3 + 1
+ +
4 + 1
+⋅⋅⋅.
s = 2
n + 1
n 3
n + 1 . Luego, n
ss
+1
n
( 2)
.
( n + )
1 2
2
n + +
2
2 3
( 1)
1
=
n + 1 n 1 1 n 1
3
3
3 2
( n + 1) + 1 n + 1
= (( + ) + )( + )
(( n+ 1) + 1)( n + 1) .