Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 18 Funciones trigonométricas inversas
8. y
=
1 1( )
−
tan
b
tan x .
ab a
y
1 1
ab
1
b
tan x
a
2
D
x
b
2
tan x
1 a b 2
2 2 2
sec x
a ab a b tan x a
sec
2
x
2 2 2
a b tan x
1
2 2
a cos x b 2 sen
2 x
9. Sea y 2 sen x + y = tan –1 x. Halle y.
2
Por derivación implícita, 2yysen x y cos x y
1
2 . Por tanto,
1 x
y( 2ysen x1)
1
2
y
1 x
2 cos x y entonces,
2 2
1( 1
x ) y cosx
y
2
1
x (2y sen x 1)
−1 10. Evalúe a) sen ( − 2/ 2)
; b) cos –1 (1); c) cos –1 (0); d) cos −1 ( 1 ) ; e) tan −1 ( − 3 ) ; f) sec –1 (2); g) sec –1 (–2).
2
a)
1 1
sen ( 2/ 2) sen ( 2/
2 / 4
b) cos –1 (1) = 0, puesto que cos (0) = 1 y 0 está en [0, ]
c) cos –1 (0) = /2, ya que cos (/2) = 0 y (/2) está en [0, ]
d)
cos ( ) /
1 1
2 3
e)
1 1
tan ( 3) tan ( 3)
/ 3
f) sec –1 (2) = /3, ya que
sec
1 1
3 1
2
cos( / 3)
2
g) sec –1 (–2) = 4/3, porque ( 4
/ 3)
1
1
2
cos( 4
/ 3)
1
2
y 4/3 está en [, 3/29)
11. Demuestre que sen –1 x + cos –1 x = π 2 .
−1 −1
Dx (sen x+ cos x)
=
1
−
1
= 0 . Entonces, por el problema 15 del capítulo 13, sen –1 x + cos –1 x es
2 2
1−
x 1−
x
una constante. Como 1 1
sen 0cos
00
, esa constante es
2 2
2 .
12. a) Demuestre sen(sen –1 (y)) = y; b) determine sen –1 (sen ); c) pruebe que sen –1 (sen x) = x si y sólo si x está en
[–2, /2].
a) Esto resulta directamente de la definición de sen –1 (y).
b) sen –1 (sen ) = sen –1 0 = 0.
c) sen –1 y es igual al número x en [–/2, /2] tal que sen x = y. Así, si x está en [–/2, /2], sen –1 (sen x) = x.
Si x no está en [–/2, /2], entonces sen –1 (sen x) x, ya que, por definición, sen –1 (sen x) debe estar en
[–/2, 2].
13. Evalúe a) cos( 2sen − 1 2
( 5 )) ; b) sen(cos −
( − ))
1 3
4 .
−1 2 2 −1 2 2 2
a) Por (16.11), cos( 2sen ( 5 )) = 1− 2sen (se n ( 5 )) = 1− 2( 5 ) = − =
8 17
1 25 25 .
2 −1 3 2 −1 3 3
b) sen (cos ( − 4 )) = 1−cos (cos ( − 4 )) = 1−( − 4 )
2 = 7
16 .
−1 3 −1 3
Por tanto, sen(cos ( − 4 )) =± 7/ 4. Puesto que cos ( − 4 ) está en el segundo cuadrante,
−1 3 −1 3
sen(cos ( − 4 )) > 0 . Entonces, sen(cos ( − 4 )) = 74 / .