Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

353
9. Demuestre: lím
1
n
0.
n
2
lím n
n 2 por el teorema 42.4a). Así, lím
1
n n
0 por el teorema 42.3.
2
10. Pruebe el teorema 42.2c) y e).
Sea lím n s n
c y lím n t n
d .
c) lím n ( sn
tn)
c d. Sea > 0. Entonces existen enteros m 1 y m 2 tales que |s n – c| < /2 para n m 1
y |t n – d| < /2 para n m 2 . Sea m el máximo de m 1 y m 2 . Entonces, para n m, |s n – c| < /2 y |t n – d| <
/2. Por lo tanto, para n m,
| ( sn tn) ( cd) | | ( sn c) ( tn d)
| | sn c| |
tn
d|
2 2
e) lím n ( st
n n)
cd. Como s n resulta convergente, es acotada, por el teorema 42.1 y, por tanto, hay un
número positivo M tal que |s n | M para todo n. Sea > 0. Si d ≠ 0, existe un entero m 1 tal que |s n – c| <
/2|d| para n m 1 y, por consiguiente, |d||s n – c| < /2 para n m 1 . Si d = 0, entonces se puede seleccionar
m 1 = 1 y, sin embargo, se tendría |d||s n – c| < /2 para n m 1 . También existe un m 2 tal que |t n – d| < /2M
para n m 2 . Sea m el máximo de m 1 y m 2 . Si n m,
|s n t n – cd| = |s n (t n – d) + d(s n – c)| |s n (t n – d)| + |d(s n – c)|
CAPÍTULO 42 Sucesiones infinitas
| s || t d | | n n
d || sn
c | M
2 M 2
11. Demuestre el teorema de intercalación: si lím n
sn
L lím n u n y existe un entero m tal que s n t n u n ,
para todo n m, entonces lím t L.
n
n
Sea > 0. Existe un entero m 1 m tal que |s n – L| < /4 y |u n – L| < /4 para n m 1 . Ahora supóngase que
n m 1 . Como s n t n u n , |t n – s n | |u n – s n |. Pero
| un sn| | ( un L) ( Lsn)
| | un L| | Lsn|
4
4
2
Así, |t n – s n | < /2. Por tanto,
| tn L| | tn sn| ( sn L)
| | tn sn| | sn
L|
2 4
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
En los problemas 12 a 29, determine para cada sucesión s n si es acotada o no y si es no decreciente, creciente,
no creciente o decreciente. Indique asimismo si es convergente y, si es posible, establezca su límite. (Nota: si la
sucesión tiene un límite finito, debe ser acotada; en cambio, si tiene un límite infinito, debe ser no acotada.)
12. n + 2 Respuesta: no decreciente, creciente para n 2; límite +
n
13. sen n 4
Respuesta: acotada; sin límite
14. 3 n 2
Respuesta: creciente, límite +
15. n!
n
10
Respuesta: creciente para n 10; límite +
16.
lnn
n
Respuesta: decreciente para n 3; límite 0