Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

3
a b a b
Intervalo abierto (a, b): a < x < b;
Fig. 1.4
Intervalo cerrado [a, b]: a x b
Por intervalo semiabierto se entiende un intervalo abierto (a, b) junto con uno de sus puntos extremos. Hay
dos de esos intervalos: [a, b) es el conjunto de todos los x tales que a x < b y (a, b] es el conjunto de todos
los x tales que a < x b
Intervalos infinitos
Sea (a, ) el conjunto de todos los x tales que a < x.
Sea [a, ) el conjunto de todos los x tales que a x.
Sea (–, b) el conjunto de todos los x tales que x < b.
Sea (–, b] el conjunto de todos los x tales que x b.
CAPÍTULO 1 Sistemas de coordenadas lineales
Desigualdades
Toda desigualdad —como 2x – 3 > 0 o 5 < 3x + 10 16— determina un intervalo. Resolver una desigualdad
significa determinar el intervalo correspondiente de los números que la satisfacen.
EJEMPLO 1.1. Resuelva 2x – 3 > 0.
2x – 3 > 0
2x > 3 (Sumando 3)
x > 3 2
Así, el intervalo correspondiente es
3 , 2
EJEMPLO 1.2. Resuelva 5 < 3x + 10 ≤ 16.
5 < 3x + 10 ≤ 16
Así, el intervalo correspondiente es −
EJEMPLO 1.3. Resuelva –2x + 3 < 7
(Dividiendo entre 2)
–5 < 3x 6 (Restando 10)
5
x (Dividiendo entre 3)
3
2
5
( 2
3 ]
, .
–2x + 3 < 7
–2x < 4 (Restando 3)
x > –2 (Dividiendo entre –2)
(Observe que cuando se divide entre un número negativo la desigualdad se invierte.) Así, el intervalo correspondiente
es (–2, ).
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Describa y represente los intervalos siguientes y exprese su notación de intervalos: a) – 3 < x < 5; b) 2 x 6;
c) –4 < x 0; d) x > 5; e) x ≤ 2; f) 3x – 4 8; g) 1 < 5 – 3x < 11.
a) Todos los números mayores que –3 y menores que 5; la notación de intervalos es (–3, 5):
–3
5